IMC 2003/1/1

#1

(α) Έστω

μια ακολουθία πραγματικών αριθμών με a_1=1

και $a_{n+1} > 3a_n/2$ για $n \geqslant 1$ . Να δειχθεί ότι η ακολουθία (b_n)

όπου $\displaystyle{ b_n = \frac{a_n}{(3/2)^{n-1}}}$ είτε έχει πεπερασμένο όριο είτε τείνει στο άπειρο.

(β) Να δειχθεί ότι για κάθε $\alpha > 1$ υπάρχει ακολουθία (a_n)

με τις ίδιες ιδιότητες όπως στο ερώτημα (α) ώστε
$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{(3/2)^{n-1}} = \alpha}$

#2

(α) Παρατηρούμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ ισχύει

$\displaystyle{{b_{n + 1}} = \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^n}}} > \frac{{\frac{3}{2}{a_n}}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^n}}} = \frac{{{a_n}}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{n - 1}}}} = {b_n}}$

και άρα η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}$ είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως, το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {b_n}}$ υπάρχει στο $\displaystyle{\mathbb{R} \cup \left\{ { + \infty } \right\}}$ .

(β) Έστω $\displaystyle{\alpha > 1}$ . Θεωρούμε μια οποιαδήποτε γνησίως αύξουσα ακολουθία $\displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}$ με $\displaystyle{{b_1} = 1}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = \alpha }$ (για παράδειγμα, αν $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R},}$ τοτε μπορούμε να πάρουμε $\displaystyle{{b_n} = \alpha - \frac{{\alpha - 1}}{n}}$ , ενώ αν $\displaystyle{\alpha = + \infty }$ τότε μπορούμε να πάρουμε $\displaystyle{{b_n} = n}$ για κάθε $\displaystyle{n \ge 1}$ ). Θέτουμε $\displaystyle{{a_n} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}{b_n}}$ για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ . Τότε, είναι $\displaystyle{{a_1} = 1}$ και $\displaystyle{\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{3}{2}\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} > \frac{3}{2}}$ για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ , οπότε το ζητούμενο δείχθηκε.

IMC 2003/1/1

IMC 2003/1/1

Re: IMC 2003/1/1

Μέλη σε σύνδεση