IMC 2004/1/1

#1

Έστω

ένα άπειρο σύνολο πραγματικών ώστε $\displaystyle{\left|\sum_{s \in A} s\right| < 1}$ για κάθε πεπερασμένο υποσύνολο

του

. Να αποδειχθεί ότι το

είναι αριθμήσιμο.

#2

Για κάθε θετικό ακέραιο

, θέτουμε ${{A}_{n}}=\left\{ x\in S:x>\dfrac{1}{n} \right\}$ . Αν $\left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{k}} \right\}\subseteq {{A}_{n}}$ , τότε

$1>\left| \sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}} \right|=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}}>\sum\limits_{i=1}^{k}{\dfrac{1}{n}}=\dfrac{k}{n}$ ,

οπότε k<n

και άρα $\left| {{A}_{n}} \right|<n$ .

Όμοια, αν ${{B}_{n}}=\left\{ x\in S:x<-\dfrac{1}{n} \right\}$ και $\left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{k}} \right\}\subseteq {{B}_{n}}$ , τότε

$1>\left| \sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}} \right|=-\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}}>\sum\limits_{i=1}^{k}{\dfrac{1}{n}}=\dfrac{k}{n}$ ,

οπότε και πάλι ισχύει k<n

και άρα $\left| {{B}_{n}} \right|<n$ .

Εφόσον $S\subseteq \left\{ 0 \right\}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{A}_{n}}\cup {{B}_{n}} \right)}$ , το σύνολο

είναι αριθμήσιμο, ως αριθμήσιμη ένωση πεπερασμένων συνόλων.

IMC 2004/1/1

IMC 2004/1/1

Re: IMC 2004/1/1

Μέλη σε σύνδεση