IMC 2004/1/2

#1

Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x) = x^2-1

. Να βρεθεί ο αριθμός των διακεκριμένων πραγματικών λύσεων της $\displaystyle{\underbrace{P(P(\cdots P}_{2004}(x))\cdots)) = 0.}$

#2

Θέτουμε ${{P}_{1}}\left( x \right)=P\left( x \right)={{x}^{2}}-1$ και ${{P}_{n+1}}\left( x \right)={{P}_{1}}\left( {{P}_{n}}\left( x \right) \right)$ για κάθε θετικό ακέραιο

.

Παρατηρούμε ότι ${{P}_{1}}\left( x \right)\ge -1$ και ${{P}_{n}}\left( x \right)=P_{n-1}^{2}\left( x \right)-1\ge -1$ για κάθε $n\in \mathbb{N}$ με $n\ge 2$ και κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Ισχυρισμός 1: Για κάθε θετικό ακέραιο

και κάθε $y\in \left( 0,+\infty \right)$ , η εξίσωση ${{P}_{n}}\left( x \right)=y$ έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες.

Απόδειξη του Ισχυρισμού: Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για n=1

, έχουμε:

${{P}_{1}}\left( x \right)=y\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=y\Leftrightarrow x\in \left\{ -\sqrt{y+1},\sqrt{y+1} \right\}$ .

Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για το θετικό ακέραιο

. Τότε, έχουμε ότι:

${{P}_{n+1}}\left( x \right)=y\Leftrightarrow P_{n}^{2}\left( x \right)=y+1\Leftrightarrow {{P}_{n}}\left( x \right)\in \left\{ -\sqrt{y+1},\sqrt{y+1} \right\}\Leftrightarrow {{P}_{n}}\left( x \right)=\sqrt{y+1}$ ,

αφού $-\sqrt{y+1}<-1$ για κάθε y>0

. Άρα, ο Ισχυρισμός έπεται επαγωγικά. $\blacksquare$

Ισχυρισμός 2: Για κάθε θετικό ακέραιο

, η εξίσωση ${{P}_{n}}\left( x \right)=0$ έχει ακριβώς n+1

πραγματικές ρίζες.

Απόδειξη του Ισχυρισμού: Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για n=1

και

έχουμε:

${{P}_{1}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x\in \left\{ -1,1 \right\}$ ,

${{P}_{2}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow x\in \left\{ -\sqrt{2},0,\sqrt{2} \right\}$ .

Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για το θετικό ακέραιο n-1

. Τότε, έχουμε ότι:

${{P}_{n+1}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow P_{n}^{2}\left( x \right)=1\Leftrightarrow \left( {{P}_{n}}\left( x \right)-1 \right)\left( {{P}_{n}}\left( x \right)+1 \right)=0$ .

Έχουμε τώρα δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ ${{P}_{n}}\left( x \right)=-1\Leftrightarrow P_{n-1}^{2}\left( x \right)-1=-1\Leftrightarrow {{P}_{n-1}}\left( x \right)=0$ ,

η οποία έχει ακριβώς

πραγματικές ρίζες, από την επαγωγική υπόθεση.

$\bullet$ ${{P}_{n}}\left( x \right)=1\Leftrightarrow P_{n-1}^{2}\left( x \right)=2\Leftrightarrow {{P}_{n-1}}\left( x \right)\in \left\{ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right\}\Leftrightarrow {{P}_{n-1}}\left( x \right)=\sqrt{2}$ ,

η οποία έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, από τον Ισχυρισμό 1.

Άρα, η εξίσωση ${{P}_{n+1}}\left( x \right)=0$ έχει ακριβώς n+2

πραγματικές ρίζες, οπότε το συμπέρασμα έπεται επαγωγικά. $\blacksquare$

Ειδικότερα, η εξίσωση ${{P}_{2004}}\left( x \right)=0$ έχει ακριβώς $\boxed{2005}$ πραγματικές ρίζες.

IMC 2004/1/2

IMC 2004/1/2

Re: IMC 2004/1/2

Μέλη σε σύνδεση