IMC 2004/1/2
Συντονιστής: Demetres
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: IMC 2004/1/2
Θέτουμε και για κάθε θετικό ακέραιο .
Παρατηρούμε ότι και για κάθε με και κάθε .
Ισχυρισμός 1: Για κάθε θετικό ακέραιο και κάθε , η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες.
Απόδειξη του Ισχυρισμού: Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για , έχουμε:
.
Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για το θετικό ακέραιο . Τότε, έχουμε ότι:
,
αφού για κάθε . Άρα, ο Ισχυρισμός έπεται επαγωγικά.
Ισχυρισμός 2: Για κάθε θετικό ακέραιο , η εξίσωση έχει ακριβώς πραγματικές ρίζες.
Απόδειξη του Ισχυρισμού: Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για και έχουμε:
,
.
Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για το θετικό ακέραιο . Τότε, έχουμε ότι:
.
Έχουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
,
η οποία έχει ακριβώς πραγματικές ρίζες, από την επαγωγική υπόθεση.
,
η οποία έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, από τον Ισχυρισμό 1.
Άρα, η εξίσωση έχει ακριβώς πραγματικές ρίζες, οπότε το συμπέρασμα έπεται επαγωγικά.
Ειδικότερα, η εξίσωση έχει ακριβώς πραγματικές ρίζες.
Παρατηρούμε ότι και για κάθε με και κάθε .
Ισχυρισμός 1: Για κάθε θετικό ακέραιο και κάθε , η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες.
Απόδειξη του Ισχυρισμού: Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για , έχουμε:
.
Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για το θετικό ακέραιο . Τότε, έχουμε ότι:
,
αφού για κάθε . Άρα, ο Ισχυρισμός έπεται επαγωγικά.
Ισχυρισμός 2: Για κάθε θετικό ακέραιο , η εξίσωση έχει ακριβώς πραγματικές ρίζες.
Απόδειξη του Ισχυρισμού: Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για και έχουμε:
,
.
Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για το θετικό ακέραιο . Τότε, έχουμε ότι:
.
Έχουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
,
η οποία έχει ακριβώς πραγματικές ρίζες, από την επαγωγική υπόθεση.
,
η οποία έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, από τον Ισχυρισμό 1.
Άρα, η εξίσωση έχει ακριβώς πραγματικές ρίζες, οπότε το συμπέρασμα έπεται επαγωγικά.
Ειδικότερα, η εξίσωση έχει ακριβώς πραγματικές ρίζες.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες