ΙΜC 2004/2/1

#1

Έστω πραγματικοί πίνακες A,B

διαστάσεων $4 \times 2$ και $2 \times 4$ αντίστοιχα έτσι ώστε
$\displaystyle{ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$ .

Να βρεθεί ο πίνακας

.

#2

Θέτουμε $\displaystyle{C = BA}$ και παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{{\left( {AB} \right)^2} = 2AB}$

και άρα $\displaystyle{B{\left( {AB} \right)^2}A = 2BABA}$ , δηλαδή

$\displaystyle{{C^3} = 2{C^2}}$ $\bf \color{red} \left(1 \right)$ .

Αλλά, έχουμε ότι

$\displaystyle{2 = {\rm{rank}}\left( {AB} \right) = {\rm{rank}}\left( {{{\left( {AB} \right)}^2}} \right) = {\rm{rank}}\left( {A\left( {BA} \right)B} \right) \le {\rm{rank}}\left( C \right)}$

οπότε $\displaystyle{{\rm{rank}}\left( C \right) = 2}$ (αφού ο $\displaystyle{C}$ είναι πίνακας $\displaystyle{2 \times 2}$ ).

Άρα, ο πίνακας $\displaystyle{C}$ είναι αντιστρέψιμος, οπότε από τη σχέση $\bf \color{red} \left(1 \right)$ προκύπτει άμεσα ότι:

$\displaystyle{C = 2{I_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&2 \end{array}} \right)}$ .

#3

Demetres έγραψε:Έστω πραγματικοί πίνακες διαστάσεων $4 \times 2$ και $2 \times 4$ αντίστοιχα έτσι ώστε
$\displaystyle{ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$ .

Να βρεθεί ο πίνακας .

Αλλιώς και λίγο γενικότερα, έστω $AB= \begin{pmatrix} I & X\\ Y & I \end{pmatrix}$ όπου

είναι ο $2\times 2$ ταυτοτικός και $X,\, Y$ οποιοιδήποτε $2\times 2$ πίνακες.
Για κατάλληλους $2\times 2$ πίνακες $P, \, Q, \, R, \, S$ είναι $A= \begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$ και $B= \begin{pmatrix} R &S \end{pmatrix}$ και η υπόθεση γράφεται

$\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R &S \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I & X\\ Y & I \end{pmatrix}$ .

Άρα PR=QS=I

, που σημαίνει ότι οι $P,\, R$ είναι αντίστροφοι ο ένας του άλλου, και όμοια οι $Q, \, S$ . Άρα

$BA=\begin{pmatrix} R &S \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix} = RP+SQ=I+I=2I$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

ΙΜC 2004/2/1

ΙΜC 2004/2/1

Re: ΙΜC 2004/2/1

Re: ΙΜC 2004/2/1

Μέλη σε σύνδεση