IMC 2005/1/1

#1

Έστω ένας $n \times n$ πίνακας

με $A_{ij} = i+j$ . Να βρεθεί η τάξη του

.

#2

Αν $\displaystyle{n = 1}$ , τότε προφανώς η τάξη του πίνακα $\displaystyle{A}$ είναι ίση με $\displaystyle{1}$ .

Έστω ότι $\displaystyle{n \ge 2}$ . Αφαιρούμε την $\displaystyle{k}$ -στή γραμμή του πίνακα $\displaystyle{A}$ από την $\displaystyle{\left( {k + 1} \right)}$ -στή γραμμή του, για $\displaystyle{k \in \left\{ {1,2, \ldots ,n - 1} \right\}}$ , και στη συνέχεια αφαιρούμε τη δεύτερη γραμμή του από την $\displaystyle{k}$ -στή, για $\displaystyle{k \in \left\{ {1, 3, \ldots ,n } \right\}}$ . Οι πράξεις αυτές δεν αλλάζουν την τάξη του πίνακα, οπότε:

$\displaystyle{{\rm{rank}}A = {\rm{rank}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3& \cdots &n&{n + 1}\\ 3&4& \cdots &{n + 1}&{n + 2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ n&{n + 1}& \cdots &{2n - 2}&{2n - 1}\\ {n + 1}&{n + 2}& \ldots &{2n - 1}&{2n} \end{array}} \right) = }$

$\displaystyle{ = {\rm{rank}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3& \cdots &n&{n + 1}\\ 1&1& \cdots &1&1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1&1& \cdots &1&1\\ 1&1& \ldots &1&1 \end{array}} \right) = {\rm{rank}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2& \cdots &{n - 1}&n\\ 1&1& \cdots &1&1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0&0& \cdots &0&0\\ 0&0& \ldots &0&0 \end{array}} \right) = 2}$ .

IMC 2005/1/1

IMC 2005/1/1

Re: IMC 2005/1/1

Μέλη σε σύνδεση