IMC 2005/1/3

#1

Έστω $f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$ μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{ \left|\int_0^1 f^3(x) \, dx - f^2(0)\int_0^1 f(x) \, dx\right| \leqslant \max_{0 \leqslant x \leqslant 1}|f'(x)| \left( \int_0^1 f(x) \, dx\right)^2. }$

#2

Θέτουμε $\displaystyle{\left\| {f'} \right\| = \mathop {\max }\limits_{0 \le x \le 1} \left| {f'\left( x \right)} \right|}$ , οπότε έχουμε διαδοχικά ότι:

Για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]}$ ,

$\displaystyle{ - \left\| {f'} \right\| \le f'\left( x \right) \le \left\| {f'} \right\|}$ ,

οπότε

$\displaystyle{ - \left\| {f'} \right\|f\left( x \right) \le f\left( x \right)f'\left( x \right) \le \left\| {f'} \right\|f\left( x \right)}$

και, με ολοκλήρωση στο $\displaystyle{\left[ {0,x} \right]}$ ,

$\displaystyle{ - \left\| {f'} \right\|\int_0^x {f\left( t \right)} dt \le \int_0^x {f\left( t \right)f'\left( t \right)} dt \le \left\| {f'} \right\|\int_0^x {f\left( t \right)} dt}$ ,

δηλαδή

$\displaystyle{ - \left\| {f'} \right\|\int_0^x {f\left( t \right)} dt \le \frac{1}{2}{f^2}\left( x \right) - \frac{1}{2}{f^2}\left( 0 \right) \le \left\| {f'} \right\|\int_0^x {f\left( t \right)} dt}$ .

Πολλαπλασιάζοντας με $\displaystyle{f\left( x \right)}$ και ολοκληρώνοντας στο $\displaystyle{\left[ {0,1} \right]}$ έχουμε ότι:

$\displaystyle{ - \left\| {f'} \right\|f\left( x \right)\int_0^x {f\left( t \right)} dt \le \frac{1}{2}{f^3}\left( x \right) - \frac{1}{2}{f^2}\left( 0 \right)f\left( x \right) \le \left\| {f'} \right\|f\left( x \right)\int_0^x {f\left( t \right)} dt \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow - \left\| {f'} \right\|\int_0^1 {\left( {f\left( x \right)\int_0^x {f\left( t \right)} dt} \right)} dx \le \frac{1}{2}\int_0^1 {{f^3}\left( x \right)} dx - \frac{1}{2}{f^2}\left( 0 \right)\int_0^1 {f\left( x \right)} dx \le \left\| {f'} \right\|\int_0^1 {\left( {f\left( x \right)\int_0^x {f\left( t \right)} dt} \right)} dx \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow - \left\| {f'} \right\|\frac{1}{2}{\left( {\int_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} \le \frac{1}{2}\int_0^1 {{f^3}\left( x \right)} dx - \frac{1}{2}{f^2}\left( 0 \right)\int_0^1 {f\left( x \right)} dx \le \left\| {f'} \right\|\frac{1}{2}{\left( {\int_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \left| {\int_0^1 {{f^3}\left( x \right)} dx - {f^2}\left( 0 \right)\int_0^1 {f\left( x \right)} dx} \right| \le \left\| {f'} \right\|{\left( {\int_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} }$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

IMC 2005/1/3

IMC 2005/1/3

Re: IMC 2005/1/3

Μέλη σε σύνδεση