IMC 2005/2/1

#1

Έστω το πολυώνυμο f(x) = x^2 + bx +c

όπου $b,c \in \mathbb{R}$ και έστω

$\displaystyle{ M = \{x \in \mathbb{R}:|f(x)| \leqslant 1\}.}$

Προφανώς το σύνολο

είναι είτε κενό είτε ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων. Ορίζουμε το άθροισμα των μηκών τους με |M|

. Να δειχθεί ότι $|M| \leqslant 2 \sqrt{2}$ .

tamos · #2

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι b=0

. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

(α) $-1\leq c\leq 1$ . Τότε, $|M|=2\delta$ όπου $\delta$ θετική ρίζα της f(x)=1

. Μ'αλλα λόγια $|M|=2\sqrt{1+c}\leq 2\sqrt{2}$ .

(β) c<-1

. Τότε, $|M|=2(\varepsilon-\delta)$ , όπου $\delta,\varepsilon>0$ με $f(\delta)=-1$ και $f(\varepsilon)=1$ . Δηλαδή, εχουμε $|M|=2(\sqrt{1-c}-\sqrt{-1-c})<2\sqrt{2}$ .

IMC 2005/2/1

IMC 2005/2/1

Re: IMC 2005/2/1

Μέλη σε σύνδεση