IMC 2005/2/2

#1

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε το f(x)^n

να είναι πολυώνυμο για $n=2,3,\ldots$ . Ισχύει ότι και η

είναι πολυώνυμο;

#2

Η απάντηση είναι καταφατική.

Γράφουμε τη ρητή συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{f^3}\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}}$ στη μορφή $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{a\left( x \right)}}{{b\left( x \right)}}}$ , όπου $\displaystyle{{a\left( x \right),b\left( x \right)}}$ πολυώνυμα με $\displaystyle{\left( {a\left( x \right),b\left( x \right)} \right) = 1}$ . Τότε, είναι

$\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = {\left( {\frac{{{f^3}\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}\left( x \right)}}{{{b^2}\left( x \right)}},}$

όπου $\displaystyle{\left( {{a^2}\left( x \right),{b^2}\left( x \right)} \right) = 1.}$ Εφόσον το $\displaystyle{{f^2}\left( x \right)}$ είναι πολυώνυμο, έπεται ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{{{b^2}\left( x \right)}}$ , άρα και το $\displaystyle{{b\left( x \right)}}$ , είναι σταθερό. Άρα, το $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{a\left( x \right)}}{{b\left( x \right)}}}$ είναι πολυώνυμο.

IMC 2005/2/2

IMC 2005/2/2

Re: IMC 2005/2/2

Μέλη σε σύνδεση