SEEMOUS 2013/1

#1

Ανεπίσημα από εδώ.

Έστω συνεχής $f:[1,8] \to \mathbb{R}$ με $\displaystyle{ \int_1^2 f^2(t^3) \, dt + 2\int_1^2 f(t^3) \, dt = \frac{2}{3}\int_1^8 f(t) \, dt - \int_1^2 (t^2-1)^2 \, dt.}$ Να βρεθεί ο τύπος της

.

kostas_zervos · #2

Θέτοντα

στο $\int_{1}^{8}f(t)dt$ , έχουμε dt=3u^2du

$\int_{1}^{2}f^2(t)dt+2\int_{1}^{2}f(t)dt=2\int_{1}^{2}f(u^3)u^2du-\int_{1}^{2}(t^2-1)^2dt$

$\int_{1}^{2}\left[f^2(t^3)-2(t^2-1)f(t^3)+(t^2-1)^2\right]dt=0$

$\int_{1}^{2}\left[f(t^3)-(t^2-1)\right]^2dt=0$

Επομένως f(x^3)=x^2-1

Άρα $f(x)=\sqrt[3]{x^2}-1$

Eukleidis · #3

Βέβαια η $\displaystyle{f}$ ορίζεται στο $\displaystyle{\left[ {1,8} \right]}$ και εμείς βρίσκουμε τον τύπο της στο $\displaystyle{\left[ {1,2} \right]}$ . Μάλλον οι θεματοδότες έπρεπε να ζητήσουν την $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{\left[ {1,2} \right]}$

#4

Γιώργο, όπως το βλέπω είναι σωστό. Στο [1,8]

βρήκε τον τύπο της

ο Κώστας.

Υ.Γ. Ευχαριστώ για την ανάρτηση και του θέματος που έλειπε.

kostas_zervos · #5

Έχω παραλέιψει μερικά σημεία στην λύση για να την κάνω πιο σύντομη.

Για το πεδίο ορισμού της

έχουμε ότι για $x\in[1,2]$ , θέτοντας t=x^3

( άρα $x=\sqrt[3]{t}$ ) τότε $t\in[1,8]$ , επομένως $f(t)=\sqrt[3]{t^2}-1\;,\;t\in[1,8]\dots$

SEEMOUS 2013/1

SEEMOUS 2013/1

Re: SEEMOUS 2013/1

Re: SEEMOUS 2013/1

Re: SEEMOUS 2013/1

Re: SEEMOUS 2013/1

Μέλη σε σύνδεση