IMC 2006/1/2

#1

Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ακεραίων

οι οποίοι ικανοποιούν τις συνθήκες

(α) $n < 10^{2006}$ και
(β) Ο n^2 - n

διαιρείται από τον $10^{2006}$ .

#2

Εφόσον $\displaystyle{{2^{2006}} \cdot {5^{2006}} = {10^{2006}}|n\left( {n - 1} \right)}$ και οι αριθμοί

και

είναι σχετικά πρώτοι, θα έχουμε

περιπτώσεις:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {n \equiv 0\left( {\bmod {2^{2006}}} \right)}\\ {n \equiv 0\left( {\bmod {5^{2006}}} \right)} \end{array}} \right\}}$ , $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {n \equiv 1\left( {\bmod {2^{2006}}} \right)}\\ {n \equiv 0\left( {\bmod {5^{2006}}} \right)} \end{array}} \right\}}$ , $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {n \equiv 0\left( {\bmod {2^{2006}}} \right)}\\ {n \equiv 1\left( {\bmod {5^{2006}}} \right)} \end{array}} \right\}}$ , $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {n \equiv 1\left( {\bmod {2^{2006}}} \right)}\\ {n \equiv 1\left( {\bmod {5^{2006}}} \right)} \end{array}} \right\}}$ .

Από το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων, καθένα από τα παραπάνω συστήματα γραμμικών ισοτιμιών έχει μοναδική λύση στο σύνολο $\displaystyle{\left\{ {0,1,2, \ldots {{,10}^{2006}} - 1} \right\}.}$ Οι τέσσερις αυτές λύσεις είναι διαφορετικές ανά δύο, γιατί δεν είναι ισότιμες $\displaystyle{\bmod {2^{2006}}}$ ή $\displaystyle{\bmod {5^{2006}}}$ . Εξαιρώντας το

, που είναι λύση του πρώτου συαστήματος, βρίσκουμε ότι υπάρχουν ακριβώς

θετικοί ακέραιοι

που ικανοποιούν τις δοσμένες συνθήκες.

IMC 2006/1/2

IMC 2006/1/2

Re: IMC 2006/1/2

Μέλη σε σύνδεση