IMC 2006/2/2

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ έτσι ώστε για κάθε πραγματικούς αριθμούς a < b

η εικόνα του [a,b]

να είναι ένα κλειστό διάστημα μήκους b-a

.

Bern · #2

Θα δειξουμε ότι η

είναι ισομετρία στο $\mathbb R$ , δηλ. |f(t)-f(s)|=|t-s|

για κάθε $t, s\in \mathbb R$ (άρα είτε f(x)=x+a

ή

για κάποια σταθερά $a\in \mathbb R$ ).

Από την υπόθεση έχεις ότι η

είναι

-Lipschitz συνεχής: $|f(t)-f(s)|\leqslant |t-s|$ . Δείχνεις την ισότητα ως εξής: Σταθεροποίησε δυο t<s

. Τότε, υπάρχουν $a,b\in [t,s]$ ώστε $|t-s|=|\max_{[t,s]} f-\min_{[t,s]} f|=|f(a)-f(b)|\leqslant |a-b|\leqslant |t-s|$ . Αυτό σημαίνει ότι $a,b\in \{t,s\}$ κι έχεις το ζητούμενο.

IMC 2006/2/2

IMC 2006/2/2

Re: IMC 2006/2/2

Μέλη σε σύνδεση