Γενικευμένο Ολοκλήρωμα και Σύγκλιση

#1

Ας εξετασθεί ως προς τη σύγκλιση το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\sin x\sin(x^2)\,dx}$

Παρακαλώ ας μη φανερωθεί η πηγή από όποιον τη γνωρίζει πριν δοθεί κάποια αντιμετώπιση.

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας εξετασθεί ως προς τη σύγκλιση το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\sin x\sin(x^2)\,dx}$

Παρακαλώ ας μη φανερωθεί η πηγή από όποιον τη γνωρίζει πριν δοθεί κάποια αντιμετώπιση.

$\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\sin x\sin {x^2}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {\left( {\cos \left( {{x^2} - x} \right) - \cos \left( {{x^2} + x} \right)} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {\left( {\cos \left( {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{4}} \right) - \cos \left( {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{4}} \right)} \right)dx} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {\left( {\cos \frac{1}{4}\cos {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \sin \frac{1}{4}\sin {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \right)dx} - \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {\left( {\cos \frac{1}{4}\cos {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \sin \frac{1}{4}\sin {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \right)dx} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\cos \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\cos {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}dx} + \frac{1}{2}\sin \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\sin {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}dx} - \frac{1}{2}\cos \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\cos {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}dx} - \frac{1}{2}\sin \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\sin {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}dx} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\cos \frac{1}{4}\int\limits_{ - 1/2}^\infty {\cos {x^2}dx} + \frac{1}{2}\sin \frac{1}{4}\int\limits_{ - 1/2}^\infty {\sin {x^2}dx} - \frac{1}{2}\cos \frac{1}{4}\int\limits_{1/2}^\infty {\cos {x^2}dx} - \frac{1}{2}\sin \frac{1}{4}\int\limits_{1/2}^\infty {\sin {x^2}dx} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\cos \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sqrt \pi }}{{2\sqrt 2 }} + \int\limits_{ - 1/2}^0 {\cos {x^2}dx} } \right) + \frac{1}{2}\sin \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sqrt \pi }}{{2\sqrt 2 }} + \int\limits_{ - 1/2}^0 {\sin {x^2}dx} } \right) - \frac{1}{2}\cos \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sqrt \pi }}{{2\sqrt 2 }} - \int\limits_0^{1/2} {\cos {x^2}dx} } \right) - \frac{1}{2}\sin \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sqrt \pi }}{{2\sqrt 2 }} - \int\limits_0^{1/2} {\sin {x^2}dx} } \right) = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\cos \frac{1}{4}\int\limits_{ - 1/2}^{1/2} {\cos {x^2}dx} + \frac{1}{2}\sin \frac{1}{4}\int\limits_{ - 1/2}^{1/2} {\sin {x^2}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1/2}^{1/2} {\cos \left( {{x^2} - \frac{1}{4}} \right)dx} = \int\limits_0^{1/2} {\cos \left( {{x^2} - \frac{1}{4}} \right)dx} }$ Συγκλίνει ..

Χρησιμοποιήθηκαν τα ολοκληρώματα Fresnel http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral όπου $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\cos {x^2}dx} = \int\limits_0^\infty {\sin {x^2}dx} = \frac{{\sqrt \pi }}{{2\sqrt 2 }}}$

Παρεμπιπτόντως βρίσκω επίσης ότι $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\sin x\sin {x^2}dx} = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {2n} \right)!}}{{\left( {4n + 1} \right)!}}} }$ .. Υποθέτω πως δεν συμμαζεύεται σε κλειστό τύπο ..

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα και Σύγκλιση

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα και Σύγκλιση

Re: Γενικευμένο Ολοκλήρωμα και Σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση