SEEMOUS 2014/2

#1

Θεωρούμε την ακολουθία (x_n)

που ορίζεται ως x_1 = 2

και

$\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{x_n + 1 + \sqrt{x_n^2 + 2x_n + 5}}{2}}$ για $n \geqslant 1$ .

Να δειχθεί ότι η ακολουθία

$\displaystyle{ y_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k^2 - 1}}$

είναι συγκλίνουσα και να βρεθεί το όριό της.

#2

Απάντηση του μέλους μας Nick1990 στα αγγλικά υπάρχει εδώ.

Αν κάποιος έχει χρόνο ας βάλει και μια πιο πλήρη απάντηση για να την έχουμε στα ελληνικά μιας και η πιο πάνω δείχνει μόνο τα βασικά βήματα της λύσης στα αγγλικά.

Nick1990 · #3

Κάνω μια μετάφραση στα Ελληνικά:

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός $x_{n+1}$ είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης: x^2 - (x_n + 1)x - 1 = 0

(αρκεί να τη λύσουμε).

Έχουμε: $x^2_{n+1} - x_{n+1}(x_n + 1) - 1 = 0 \Leftrightarrow x^2_{n+1} - 1 = x_{n+1}(x_n + 1) \Leftrightarrow \frac{1}{x_n + 1} = \frac{x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1}$ .

Άρα $\frac{1}{x^2_{n+1} - 1} = \frac{1 - x_{n+1} + x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} = \frac{x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} + \frac{1 - x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} =$

$= \frac{x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} - \frac{1}{x_{n+1} + 1} = z_n - z_{n+1}$ , όπου $z_n = \frac{1}{x_n + 1} = \frac{x_{n+1}}{x^2_{n+1} - 1} \, \forall n \in \mathbb{N}$ .

Με επαγωγή και χρησιμοποιώντας τον αναδρομικό τύπο, μπορούμε να δείξουμε ότι $x_n > 1 \, \forall n \in \mathbb{N}$ (στο επαγωγικό βήμα "πετάμε" τη ρίζα). Από αυτό και από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η z_n

είναι φθίνουσα, ενώ προφανώς είναι και θετική, οπότε συγκλίνει σε κάποιο $z \geq 0$

Άρα $\frac{1}{x^2_{n+1} - 1} = z_n - z_{n+1} \rightarrow z - z = 0$ , οπότε $x_{n+1} \rightarrow +\infty$ που σημαίνει ότι $z_n \rightarrow 0$ .

Τέλος, το

ωστό μερικό άθροισμα της σειράς ισούται προφανώς με:

$\frac{1}{x^2_1 - 1} + z_1 - z_n \rightarrow \frac{1}{x^2_1 - 1} + z_1 = \frac{2}{3}$ . Άρα η σειρά συγκλίνει στο $\frac{2}{3}$ .

SEEMOUS 2014/2

SEEMOUS 2014/2

Re: SEEMOUS 2014/2

Re: SEEMOUS 2014/2

Μέλη σε σύνδεση