IMC 2007/2/3

#1

Έστω

ένα μη κενό, κλειστό και φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών και έστω $f: C\to C$ μια συνεχής και αύξουσα συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι υπάρχει $x \in C$ ώστε f(x) = x

.

Zarifis · #2

Απλή εφαρμογή fixed point theorym ; Αλλά πολύ απλό νομίζω.

#3

Νίκο σε ποιο fixed point theorem αναφέρεσαι; [Προσοχή ότι το

δεν είναι διάστημα.]

Το έβγαλα με Knaster-Tarski του οποίου όντως είναι απλή εφαρμογή αλλά το θεώρημα αυτό ίσως να μην είναι τόσο γνωστό.

Nick1990 · #4

Είναι όντως αρκετά απλό, από όταν ακόμα ο imc είχε 12 προβλήματα και ορισμένα είτε άκομψα είτε πολύ εύκολα. Πλέον δε θα έμπαινε παραπάνω από πρώτο πρώτης μέρας. Δε χρειάζεται καν υπέροπλα. Θεωρούμε το σύνολο $K = \{x \in C | f(x) \geq x \}$ , που λόγω συνέχειας της

είναι κλειστό στο

. Επειδή το

είναι κλειστό στους πραγματικούς, το

είναι επίσης κλειστό στους πραγματικούς και άρα έχει ένα μέγιστο

. Τότε $f(y) \geq y \Rightarrow f(f(y)) > f(y) \Rightarrow f(y) \in K \Rightarrow y \geq f(y)$ . Άρα f(y) = y

και τέλος.

IMC 2007/2/3

IMC 2007/2/3

Re: IMC 2007/2/3

Re: IMC 2007/2/3

Re: IMC 2007/2/3

Μέλη σε σύνδεση