IMC 2014/1/3

#1

Έστω

θετικός ακέραιος.

Δείξτε ότι υπάρχουν θετικοί πραγματικοί $a_0, a_1,\ldots, a_n$ , ώστε για κάθε επιλογή προσήμων, το πολυώνυμο $\pm a_nx^n\pm a_{n-1}x^{n-1}\pm\cdots\pm a_1x\pm a_0$ να έχει

διακεκριμένες πραγματικές ρίζες

Nick1990 · #2

Πολύ απλό για 3 όπως έγραψα και αλλού. Κάνω επαγωγή στο n. Για n=1

είναι τετριμμένο. Έστω πως ισχύει για n=k

και έστω

το πολυωνυμο με τα θετικά πρόσημα. Το xp(x)

έχει την ίδια ιδιότητα για n=k+1

με μόνη διαφορά το ότι δεν έχει σταθερό συντελεστή. Είναι απλό τώρα να δούμε ότι την ίδια ιδιότητα έχει και μια μικρή διαταραχή του τελευταίου κατά μια μικρή θετική σταθερά, διότι διαφορετικά κάποια ρίζα για κάποια επιλογή προσημων στο xp(x) θα ήταν και τοπικό ακρότατο, άρα διπλή ρίζα αυτού, άτοπο. Άρα ή διαταραχή αυτή βαθμού k+1 μας κάνει. Η επιλογή της μικρής σταθεράς βγαίνει εύκολα εφαρμόζοντας τον ορισμό της μη ύπαρξης ακροτατου σε πεπερασμένο πλήθος ριζών πεπερασμένου πλήθους πολυωνυμων. Η διαφορετικότητα των ριζών του τελικού πολυωνυμου εξασφαλίζεται από το γεγονός ότι τα διαστήματα του ορισμού της μη ύπαρξης τοπικού ακροτατου, λαμβάνονται οσοδήποτε μικρά θέλουμε.

IMC 2014/1/3

IMC 2014/1/3

Re: IMC 2014/1/3

Μέλη σε σύνδεση