IMC 2015/1/5

#1

Έστω ακέραιος $n\geqslant 2$ και n+1

σημεία $A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}$ στο $\mathbb{R}^n$ , όχι όλα στο ίδιο υπερεπίπεδο. Έστω επίσης

ένα σημείο αυστηρά μέσα στην κυρτή θήκη των $A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}$ .

Να αποδειχθεί ότι το $\angle A_iBA_j > 90^\circ$ ισχύει για τουλάχιστον

ζεύγη

με $1 \leqslant i < j \leqslant n+1$ .

#2

Ωραίο.

Έστω $v_i = \overrightarrow{BA_i}$ για $1 \leqslant i \leqslant n$ . Θέλουμε να βρούμε

ζεύγη ώστε $v_i \cdot v_j < 0$ .

Επειδή το

είναι αυστηρά μέσα στην κυρτή θήκη, υπάρχουν $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n+1} > 0$ με $\sum \lambda_i = 1$ ώστε $\displaystyle{ \overrightarrow{OB} = \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \overrightarrow{OA_i}.}$

Αυτή η σχέση δίνει $\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i v_i = 0.}$

Σχηματίζω ένα γράφημα με κορυφές $1,\ldots,n+1$ όπου συνδέω την

με την

αν και μόνο αν $v_i \cdot v_j < 0$ . Αρκεί να δείξω ότι το γράφημα είναι συνεκτικό αφού τότε θα έχω τουλάχιστον

ακμές.

Έστω λοιπόν ότι δεν είναι συνεκτικό και έστω δύο (μη κενά) ξένα σύνολα κορυφών A,B

με $A \cup B = \{1,\ldots,n+1\}$ και καμία ακμή μεταξύ των

και

. Έχω

$\displaystyle{ \sum_{i \in A} \lambda_i v_i = -\sum_{j\in B} \lambda_jv_j}$

Παίρνοντας εσωτερικό γινόμενο με το $\displaystyle{\sum_{j\in B} \lambda_jv_j}$ το αριστερό μέλος είναι μη αρνητικό (αφού τα $\lambda_i$ είναι θετικά και αφού δεν υπάρχει ακμή μεταξύ των

και

) αλλά το δεξί είναι θετικό (*), άτοπο.

Αν το δεξί μέλος δεν ήταν θετικό τότε θα είχαμε $\displaystyle{\sum_{j\in B} \lambda_jv_j = \mathbf{0}}$ και αυτό θα έδινε $\displaystyle{ \overrightarrow{OB} = \sum_{j \in B} \frac{\lambda_j}{\sum_{j \in B}\lambda}\overrightarrow{OA_i}}$ . Τότε όμως το

δεν θα ήταν αυστηρά μέσα στην κυρτή θήκη, άτοπο.

Δεν χρησιμοποιήσαμε (νομίζω) ότι τα A_i

δεν ανήκουν στο ίδιο υπερεπίπεδο.

Στο κοκκινισμένο σημείο υπάρχει λάθος. Δείτε την επόμενη ανάρτηση για την διόρθωση. (Ευχαριστώ τον Ηλία Ζαδίκ που το πρόσεξε.)

#3

Ας γράψω $u_i = \overrightarrow{OA_i}$ . Μέχρι στιγμής έχω βρει $\lamda_i$ και m_i

ώστε

$\displaystyle{ \sum \lambda_i u_i = \sum \mu_i u_i}$ με $\displaystyle{\sum \lambda_i = \sum \mu_i = 1}$ αλλά ενώ τα $\lambda_i$ είναι όλα μεγαλύτερα από

, κάποια $\mu_i$ είναι ίσα με

.

Οπότε υπάρχουν $\nu_i$ όχι όλα

ώστε $\displaystyle{\sum \nu_i = 0 }$ και $\displaystyle{\sum \nu_i u_i = 0.}$ Από εδώ παίρνω

$\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \nu_i (u_i - u_{n+1}) =\sum_{i=1}^{n} \nu_i u_i - \sum_{i=1}^{n} \nu_i u_{n+1} = (-\nu_{n+1}u_{n+1}) - u_{n+1}(-\nu_{n+1}) = 0 }$

Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα $\overrightarrow{A_1A_{n+1}}, \ldots , \overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Άρα τα σημεία $A_1,\ldots,A_{n+1}$ ανήκουν στο ίδιο υπερεπίπεδο, άτοπο.

IMC 2015/1/5

IMC 2015/1/5

Re: IMC 2015/1/5

Re: IMC 2015/1/5

Μέλη σε σύνδεση