Putnam 2015/B2

[Demetres]

Ξεκινώντας από την ακολουθία κάνουμε την εξής διαδικασία:

Παίρνουμε τους πρώτους τρεις όρους 1,2,3 και διαγράφουμε τόσο αυτούς όσο και το άθροισμά τους 6 από την ακολουθία.

Επαναλαμβάνουμε παίρνοντας τους τρεις επόμενους όρους και διαγράφοντας τόσο αυτούς όσο και το άθροισμά τους .

Συνεχίζουμε στο ίδιο μοτίβο κάθε φορά διαγράφοντας τους τρεις μικρότερους αριθμούς που έχουν παραμείνει και το άθροισμά τους.

Θεωρούμε τώρα την ακολουθία των αθροισμάτων.

Να εξεταστεί αν υπάρχει αριθμός σε αυτήν την ακολουθία που να λήγει σε .

[Demetres]

Να θυμίσω ότι εδω υπάρχει λίστα με τις λυμένες και άλυτες ασκήσεις από Putnam που έχουμε συζητήσει. Βάζω την λύση μιας περσινής.

Ισχυρίζομαι ότι για κάθε οι αριθμοί που εμφανίζονται ως αθροίσματα από τους είναι οι καθώς και ένας εκ των .

Επίσης για κάθε , από τους αριθμούς χρησιμοποιούνται ως τριάδες αθροισμάτων οι


Μία εκ των ή ή

Αυτό είναι άμεσο επαγωγικά.

Από τον ισχυρισμό όμως έπεται ότι εμφανίζονται ως άθροισμα όλοι οι αριθμοί της μορφής .

Όμως ο είναι αυτής της μορφής αφού ο είναι όντως πολλαπλάσιο του .

Άρα όντως υπάρχει αριθμός στην ακολουθία ο οποίος λήγει σε .