Putnam 1990/A4

#1

Έχουμε ένα τρυπητήρι το οποίο μπορούμε να τοποθετήσουμε σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου και το οποία θα βγάλει τρύπες σε κάθε σημείο που απέχει άρρητη απόσταση από το σημείο τοποθέτησης.

Πόσες φορές χρειάζονται να βγάλουμε τρύπες ώστε να τρυπήσουμε κάθε σημείο του επιπέδου;

panagiotis99 · #2

Καλησπέρα Κύριε Δημήτρη, θα δείξω ότι 3 φορές αρκούν.

Προφανώς αν κάνουμε μία τρύπα με το τρυπητήρι τότε θα υπάρχει ένα σημείο του επιπέδου που απέχει ρητή απόσταση.

Έστω ότι κάνουμε δύο τρύπες στα σημεία A,B

, τότε οι κύκλοι με κέντρα τα A,B

και ρητή ακτίνα μεγαλύτερης του $\frac{AB}{2}$ σίγουρα θα τέμνονται και το σημείο τομής τους θα απέχει ρητή απόσταση.

Έστω τώρα ότι έχουμε τρία σημεία.Επιλέγω τα σημεία A(c,0), B(0,0),C(-c,0)

με $c \in R$ και c^2

άρρητος
Επιπλέον έστω ένα τυχαίο σημείο R=(x,y)

Tότε

Άρα δεν μπορεί οι αποστάσεις να είναι όλες ρητές. Άρα κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί να τρυπηθεί και το ζητούμενο δείχθηκε.

#3

Ωραία.

Ένας διαφορετικός τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι μετά από δυο τρυπήματα έχουν μείνει μόνο αριθμήσιμο πλήθος ατρύπητων σημείων. Πράγματι κάθε τρύπημα αφήνει πίσω αριθμήσιμο πλήθος ατρύπητων κύκλων. Επειδή όμως κάθε δύο διαφορετικοί κύκλοι έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία ο ισχυρισμός έπεται. Τώρα από κάθε ατρύπητο σημείο φέρνω όλους τους κύκλους με ρητές αποστάσεις. Αυτού οι κύκλοι τέμνουν τον άξονα των

σε αριθμήσιμο πλήθος σημείων. Οπότε υπάρχει σημείο στον άξονα των

ώστε αν τοποθετήσουμε το τρυπητήρι εκεί θα τρυπήσουμε και όλα τα ατρύπητα σημεία.

Putnam 1990/A4

Putnam 1990/A4

Re: Putnam 1990/A4

Re: Putnam 1990/A4

Μέλη σε σύνδεση