SEEMOUS 2015/1

#1

1) Να αποδειχθεί ότι για κάθε $x\in (0,1)$ ισχύει η ανισότητα:

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\sqrt{1+\cos^2{y}}dy > \sqrt{x^2 + \sin^2{x}}}$ .

#2

Λυκειακό το πρώτο θέμα:

Αρκεί να αποδειχθεί, για 0<x<1

, η ανισότητα

$\displaystyle\int_{0}^{x}{\sqrt{1+cos^2y}dy}>\sqrt{x^2+sin^2x}.$

[Πράγματι, από $\sqrt{1+cos^2y}>0$ προκύπτει άμεσα, για 0<x<1

, η $\displaystyle\int_{0}^{1}{\sqrt{1+cos^2y}dy}>\int_{0}^{x}{\sqrt{1+cos^2y}dy}$ .]

Θεωρώντας τώρα την $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}{\sqrt{1+cos^2y}dy}-\sqrt{x^2+sin^2x}$ παρατηρούμε ότι f(0)=0

με $f'(x)=\sqrt{1+cos^2x}-\displaystyle\frac{x+sinxcosx}{\sqrt{x^2+sin^2x}}$ , αρκεί συνεπώς να ισχύει η ανισότητα

$(1+cos^2x)(x^2+sin^2x)\geq (x+sinxcosx)^2\Leftrightarrow (sinx-xcosx)^2\geq 0.$

Γιώργος Μπαλόγλου

#3

Ωραία! Αυτή ήταν και η πρώτη επίσημη λύση που υπήρχε. Την ημέρα όμως που επεξεργαζόμασταν τα προβλήματα παρατήρησα ότι είναι και μία γραμμή λύση με το μήκος τόξου της συνάρτησης $f(x)=\sin x.$

SEEMOUS 2015/1

SEEMOUS 2015/1

Re: SEEMOUS 2015/1

Re: SEEMOUS 2015/1

Μέλη σε σύνδεση