Vojtech Jarnik 1992/1 Category II

#1

Να δειχθεί ότι για κάθε συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση

με

ισχύει ότι

$\displaystyle{ \max_{x \in [a,b]}|f'(x)| \geqslant \frac{1}{(b-a)^2}\int_a^b|f(x)| \,\mathrm{d}x}$

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση τυπογραφικού. Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο για την παρατήρηση.

AlexandrosG · #2

Μια λύση.

Έστω $\displaystyle{M=\max_{x\in [a,b]}|f'(x)|}$ . Έχουμε

$\displaystyle{\int_a^b |f(x)| \, \mathrm{d}x =\int_a^b \Big|\int_a^x f'(t) \, \mathrm{d}t\Big| \, \mathrm{d}x \leq \int_a^b \int_a^x |f'(t)| \, \mathrm{d}t \, \mathrm{d}x \leq}$

$\displaystyle{M\int_a^b \int_a^x 1 \, \mathrm{d}t \, \mathrm{d}x=M\int_a^b (x-a) \, \mathrm{d}x= M\Big[\frac{x^2}{2}-ax\Big]_a^b=M\frac{(b-a)^2}{2}}$

η οποία συνεπάγεται τη ζητούμενη.

#3

Ωραία Αλέξανδρε,

Βελτίωσες μάλιστα και την σταθερά. Η σταθερά βελτιώνεται κι' άλλο. Δίνω μια λύση που πήρα από το "Problems in Mathematical Analysis III" των Kazcor και Nowak. Είναι η άσκηση 1.6.25. (Ευχαριστώ τον Σταύρο για την παραπομπή.)

Έστω $\displaystyle{ M = \max_{x\in [a,b]}{|f'(x)|}}$ .

Από θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι $\displaystyle{ |f(x)| \leqslant M(x-a)}$ και $\displaystyle{ |f(x)| \leqslant M(b-x).}$

Άρα

$\displaystyle{ \begin{aligned} \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x &= \int_a^{\frac{a+b}{2}} |f(x)| \,\mathrm{d}x + \int_{\frac{a+b}{2}}^b |f(x)| \,\mathrm{d}x \\ &\leqslant \int_a^{\frac{a+b}{2}} M(x-a) \,\mathrm{d}x + \int_{\frac{a+b}{2}}^b M(b-x) \,\mathrm{d}x \\ &= M\left[\frac{(b-a)^2}{8} + \frac{(b-a)^2}{8} \right] \\ &= \frac{M(b-a)^2}{4} \end{aligned}}$

Δηλαδή

$\displaystyle{ \max_{x\in [a,b]}{|f'(x)|} \geqslant \frac{4}{(a-b)^2} \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x}$

Άσκηση: Δείξτε ότι αυτή η σταθερά είναι βέλτιστη.

AlexandrosG · #4

Demetres έγραψε: Δηλαδή

$\displaystyle{ \max_{x\in [a,b]}{|f'(x)|} \geqslant \frac{4}{(a-b)^2} \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x}$

Άσκηση: Δείξτε ότι αυτή η σταθερά είναι βέλτιστη.

Για ευκολία θα υποθέσω ότι a=-1,b=1

. Μπορούμε να αναχθούμε σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό $y=\frac{b-a}{2}x+\frac{a+b}{2}$ .

Η ανισότητα γίνεται $\displaystyle{\max_{x\in [-1,1]}{|f'(x)|} \geq C\int_{-1}^1 |f(x)| \,\mathrm{d}x \quad (*) \quad }$ . Θα δείξουμε ότι C=1

είναι η καλύτερη σταθερά για την οποία ισχύει αυτή η ανισότητα για όλες τις συνεχώς παραγωγίσιμες $f:[-1,1] \to \mathbb{R}$ με f(-1)=f(1)=0

. Από την απόδειξη που έδωσε ο Δημήτρης παραπάνω, γνωρίζουμε ήδη ότι έχουμε ισότητα για τη συνάρτηση

$\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x+1, ~~ -1 \leq x \leq 0 \\ 1-x, ~~ 0 \leq x \leq 1 \\ \end{cases} }$

Το πρόβλημα είναι ότι αυτή η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=0

. Αλλά αυτό δεν πειράζει διότι μπορούμε να ''λειάνουμε'' τη μύτη που παρουσιάζει η γραφική της παράσταση. Πιο αναλυτικά, ορίζουμε τις συναρτήσεις

$\displaystyle{ f_n(x) = \begin{cases} x+1,~~ -1 \leq x \leq -\frac{1}{n} \\ -\frac{n}{2}x^2+1-\frac{1}{2n},~~ -\frac{1}{n} \leq x \leq \frac{1}{n} \\ 1-x,~~ \frac{1}{n} \leq x \leq 1 \\ \end{cases} }$

οι οποίες είναι συνεχώς παραγωγίσιμες με

$\displaystyle{f_n'(x) = \begin{cases} 1,~~ -1 \leq x \leq -\frac{1}{n} \\ -nx,~~ -\frac{1}{n} \leq x \leq \frac{1}{n} \\ -1,~~ \frac{1}{n} \leq x \leq 1 \\ \end{cases} }$

Για αυτές τις συναρτήσεις έχουμε ότι $\displaystyle{\max_{x\in [-1,1]}{|f_n'(x)|}=1}$ και

$\displaystyle{\int_{-1}^1 |f(x)| \,\mathrm{d}x=2\int_0^{1/n} \Bigg(-\frac{n}{2}x^2+1-\frac{1}{2n} \Bigg) \,\mathrm{d}x+2\int_{1/n}^1 (1-x) \,\mathrm{d}x=}$

$\displaystyle{=-\frac{2n}{6n^3}+\frac{2}{n}-\frac{2}{2n^2}+\frac{2}{2}-\frac{2}{n}+\frac{2}{2n^2}=1-\frac{1}{3n^2}}$

Η ανισότητα (*)

δίνει τότε

$\displaystyle{1 \geq C\Big(1-\frac{1}{3n^2}\Big)}$

για κάθε $n \in \mathbb{N}$ . Για $n \to +\infty$ παίρνουμε $C\leq 1$ και άρα C=1

είναι η καλύτερη δυνατή σταθερά.

Vojtech Jarnik 1992/1 Category II

Vojtech Jarnik 1992/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 1992/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 1992/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 1992/1 Category II

Μέλη σε σύνδεση