SEEMOUS 2016/1

#1

Έστω συνεχής και φθίνουσα συνάρτηση $f:[0,\pi/2] \to \mathbb{R}$ . Να αποδειχθούν οι ανισότητες

$\displaystyle{ \int_{\pi/2-1}^{\pi/2} f(x) \, \mathrm{d}x \leqslant \int_{0}^{\pi/2} f(x)\cos{x} \, \mathrm{d}x \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Πότε ισχύουν οι ισότητες;

gavrilos · #2

Γεια σε όλους.Μια λύση με επιφύλαξη.

Για κάθε $\displaystyle{x\in [0,1]}$ ισχύει $\displaystyle{\sin x\leq x\overset{\arcsin \nearrow [0,1]}\Rightarrow \arcsin (\sin x)\leq \arcsin x \Rightarrow \arcsin x\geq x \ \forall x\in [0,1]}$ .

Ακόμη,θα δείξουμε ότι $\displaystyle{x+\frac{\pi}{2}-1\geq \arcsin x \ \forall x\in [0,1]}$ .Ισοδύναμα $\displaystyle{1-x\leq \arcsin 1-\arcsin x}$ .

$\bullet$ Για $\displaystyle{x=1}$ το ζητούμενο ισχύει.

$\bullet$ Έστω τυχαίο $\displaystyle{x_0\in [0,1)}$ .Η $\displaystyle{\arcsin}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο $\displaystyle{[x_0,1]}$ .

Άρα $\displaystyle{\exists y_0\in (x_0,1):(\arcsin x)'\mid_{x=y_0}=\frac{\arcsin 1-\arcsin x_0}{1-x_0}}$ .

Όμως $\displaystyle{(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>1 \ \forall x\in (-1,1)}$ άρα $\displaystyle{\frac{\arcsin 1-\arcsin x_0}{1-x_0}>1\overset{1-x_0>0}\Rightarrow 1-x_0<\arcsin 1-\arcsin x_0}$ .

Το $\displaystyle{x_0\in [0,1)}$ επιλέχθηκε τυχαία άρα το ζητούμενο ισχύει για κάθε $\displaystyle{x\in [0,1)}$ .

Τελικά $\displaystyle{x+\frac{\pi}{2}-1\geq \arcsin x\geq x \ , \ \forall x\in [0,1]\overset{f\searrow [0,1]}\Rightarrow f\left(x+\frac{\pi}{2}-1\right)\leq f(\arcsin x)\leq f(x) \ , \ \forall x\in [0,1]\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int_{0}^{1}f\left(x+\frac{\pi}{2}-1\right)dx\leq \int_{0}^{1}f(\arcsin x)dx\leq \int_{0}^{1}f(x)dx \ (\bigstar)}$

$\bullet$ $\displaystyle{\int_{0}^{1} f\left(x+\frac{\pi}{2}-1\right)dx\overset{u=x+\frac{\pi}{2}-1}=\int_{\frac{\pi}{2}-1}^{\frac{\pi}{2}} f(u)du}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(\arcsin x)dx\overset{x=\sin u}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u)\cos u du}$ .

Από τις δύο τελευταίες και την $\displaystyle{(\bigstar)}$ έχουμε το ζητούμενο.

Ισότητες αν η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή.

SEEMOUS 2016/1

SEEMOUS 2016/1

Re: SEEMOUS 2016/1

Μέλη σε σύνδεση