Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

#1

Να εξεταστεί αν

(α) $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2-4)$

(β) $\mathbb{Q}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2+2x+2)$

BAGGP93 · #2

Μια ιδέα για το α)(Δεν είμαι σίγουρος όμως)

Με χρήση του Κινέζικου Θεωρήματος Υπολοίπων έχουμε ότι

$\displaystyle{\mathbb{Q}[x]/\langle{x^2-1\rangle}=\mathbb{Q}[x]/\langle{(x-1)(x+1)\rangle}\cong \mathbb{Q}[x]/\langle{x-1\rangle}\times \mathbb{Q}[x]/\langle{x+1\rangle}\cong \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}}$

Παρόμοια, $\displaystyle{\mathbb{Q}[x]/\langle{x^2-4\rangle}\cong \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}}$ .

Άρα είναι ισόμορφα.

Στο β), οι δακτύλιοι φαίνεται να μοιάζουν πολύ καθώς $\displaystyle{x^2+2\,x+2=(x+1)^2+1}$ .

Δεν έχω βρει όμως κάποιον ισομορφισμό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Το α) είναι σωστό όπως έχει γραφεί.

Και το β) είναι σωστό.
Και οι δυο δακτύλιοι είναι ισόμορφοι με το μικρότερο υπόσωμα των
μιγαδικών που περιέχει τους ρητούς και την φανταστική μονάδα.

Εύκολο σαν θέμα.
Θα μπορούσε να ήταν θέμα στο μάθημα Βασική Άλγεβρα που διδάσκεται
στο τρίτο εξάμηνο του Μαθηματικού Αθηνών.

#4

Γενικά ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:

Αν $\alpha \in \mathbb{C}$ είναι αλγεβρικός αριθμός με ελάχιστο πολυώνυμο f(x)

τότε

$\displaystyle{ \mathbb{Q}[x]/(f(x)) \cong \mathbb{Q}(\alpha)}$

Οπότε στο (β) έχουμε

$\displaystyle{ \mathbb{Q}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{Q}(i) \cong \mathbb{Q}(-1+i) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2+2x+2)}$

Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 1993/1 Category II

Μέλη σε σύνδεση