Euler Competition 2016/4

#1

Έστω $f:[-1,1] \to \mathbb{R}$ μια συνεχής και άρτια συνάρτηση ώστε όλα τα αθροίσματα Riemann της με διαμερίσεις σε ίσα διαστήματα που χρησιμοποιούν τα μέσα των διαστημάτων να είναι ίσες με μηδέν. (Δηλαδή $\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{2}{n} f\left(-1 + \frac{2k-1}{n} \right) = 0}$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ .)

Να εξεταστεί αν η

είναι ταυτοτικά ίση με μηδέν.

dement · #2

Όχι απαραίτητα. Χρησιμοποιούμε το λήμμα:

(1)

Για κάθε $\phi \in \mathbb{R}$ και $m, N \in \mathbb{N}^*$ με $N \nmid m$ ισχύει $\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos (m \pi x_k + \phi) = 0$ όπου $\displaystyle x_k = \frac{2k}{N}$ .

(Αποδεικνύεται γράφοντας $\displaystyle \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ και παίρνοντας άθροισμα γεωμετρικής προόδου).

Θεωρούμε τη σειρά $\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{1-\delta_{k0}} \frac{\cos (2^k \pi x)}{2^k}$ με $x \in [-1,1]$ . Η

είναι άρτια και συνεχής (λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης από κριτήριο Weierstrass). Επιπλέον, από την (1)

, τα αθροίσματα Riemann μηδενίζονται για αριθμό διαστημάτων που δεν είναι δύναμη του

.

Για ένα μόνο διάστημα ισχύει $\displaystyle f(0) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{1 - \delta_{k0}} \frac{1}{2^k} = 0$ .

Τέλος, για $2^m, m \geq 1$ διαστήματα ισχύει $\displaystyle \sum_{k=-2^{m-1}+1}^{2^{m-1}} f \left( \frac{2k-1}{2^m} \right) = 2^m \left( \frac{1}{2^m} - \sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{1}{2^k} \right) = 0$ και η

πληροί τα κριτήριά μας.

(Μυστήρια συνάρτηση, παρεμπιπτόντως. Επισυνάπτω γράφημα. Ξέρει κανείς αν έχει όνομα;)

: outcos.png (7.6 KiB) Προβλήθηκε 1184 φορές

Tolaso J Kos · #3

Δημήτρη, μήπως εννοείς τη takagi function ; Το σχήμα που δίδεις έχει καταπληκτική ομοιότητα με αυτή τη συνάρτηση.

dement · #4

Όντως μοιάζουν πολύ, αν και η δική μου παράγεται από τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οπωσδήποτε είναι "φρακταλώδης".

#5

Είναι ουσιαστικά η συνεχής και πουθενά παραγωγίσιμη συνάρτηση του Weierstrass.

[Διαφέρει μόνο στον πρώτο όρο. Επίσης η επιλογή a=1/2,b=2

δεν δίνει $ab > 1+3\pi/2$ που ήταν η αρχική συνθήκη του Weierstrass για να μπορέσει να αποδείξει το πουθενά παραγωγίσιμη. Εδώ έχουμε ab=1

αλλά νομίζω ότι και για αυτό ισχύει η μη παραγωγισιμότητα.]

Πρόσφατα είχα φτιάξει για τους φοιτητές μου αυτό εδώ που σχεδιάζει την συνάρτηση για a=1/2,b=3

. (Φαίνεται διαφορετική από αυτήν του Δημήτρης λόγω του πρώτου όρου που ισούται με $\cos{x}$ . Δημήτρη, νομίζω ότι η συνάρτηση που σχεδίασες αντιστοιχεί στο $(-1)^{1-\delta_{k0}}$ .)

Μπορείτε να ζουμάρετε όπου θέλετε και θα δείτε ότι είναι όντως «φρακταλώδης». Βέβαια προσθέτω μόνο πεπερασμένο πλήθος όρων οπότε η συνάρτηση που βλέπετε είναι ουσιαστικά παντού παραγωγίσιμη. Αν ζουμάρετε αρκετά θα δείτε ότι η συνάρτηση θα αρχίσει να φαίνεται λεία.

Μπορείτε να επιλέξετε πόσους όρους να προσθέσετε από

ως

. Όταν αρχίσετε να βλέπετε την συνάρτηση να είναι λεία, αυξήστε τους όρους για να ξαναρχίσει να φαίνεται μη παραγωγίσιμη. Μετά ζουμάρετε περισσότερο για να την ξαναδείτε ότι είναι λεία κ.ο.κ.

Για περισσότερους από

όρους οι τιμές που προσθέτουμε είναι τόσο μικρές που πρέπει να δηλώσουμε στο πρόγραμμα ότι πρέπει να κάνει τις πράξεις με περισσότερη ακρίβεια.

dement · #6

Demetres έγραψε:Δημήτρη, νομίζω ότι η συνάρτηση που σχεδίασες αντιστοιχεί στο $(-1)^{1-\delta_{k0}}$ .

Έχεις δίκιο, το διόρθωσα.

Euler Competition 2016/4

Euler Competition 2016/4

Re: Euler Competition 2016/4

Re: Euler Competition 2016/4

Re: Euler Competition 2016/4

Re: Euler Competition 2016/4

Re: Euler Competition 2016/4

Μέλη σε σύνδεση