Γραμμική άλγεβρα - Δ4.35

lemonidas · #1

Έστω γραμμικός μετασχηματισμός

που δρα πάνω σε ένα

-διάστατο διανυσματικό χώρο. Αν έχει n+1

ιδιοδιανύσματα με την ιδιότητα οποιαδήποτε

από αυτά να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, δείξτε ότι $T=\lambda I$ για κάποια σταθερά $\lambda$ .

Ilias_Zad · #2

Εστω οτι τα ιδιοδιανυσματα ειναι τα $x_1,..,x_{n+1}$ .(αντιστοιχες l_i

ιδιοτιμες)
Toτε υπαρχουν a_i

κανενα απο τα οποια δεν ειναι μηδεν ωστε :
$x_1=\sum_{i=2}^{n+1} a_ix_i$
Εφαρμοζουμε τωρα τον

και εχουμε
$\sum_{i=2}^{n+1} l_1a_ix_i= l_1x_1 = \sum_{i=2}^{n+1} a_il_ix_i$
απο οπου συμπεραινουμε οτι ολες οι ιδιοτιμες του μετασχηματισμου ειναι ισες με l_1

και αρα το ζητουμενο!

Nick1990 · #3

Μια διαφορετικη αντιμετωπιση ειναι να θεωρισουμε ολες τις διαγωνοποιησεις $A = P_{k}D_{k}{P_{k}}^{-1}$ οπου για k=n+1 εχουμε την διαγωνοποιηση ως προς τα πρωτα n ιδιοδιανυσματα και για k=1,2,...,n εχουμε τη διαγωνοποιηση οπου αντικαθιστουμε το k-ωστο ιδιοδιανυσμα και την k-ωστη ιδιοτιμη με το n+1 - ωστο ιδιοδιανυσμα και την n+1 - ωστη ιδιοτιμη (η οποια ταυτιζεται με καποια απο τις αλλες n ιδιοτιμες) αντιστοιχα
Τοτε παιρνοντας τα ιχνη προκειπτει αμεσα οτι ολες οι ιδιοτιμες ειναι ισες.

#4

Η λύση είναι παρόμοια με του Ηλία αλλά γραμμένη διαφορετικά.

Για κάθε ιδιοτιμή $\lambda$ , ο ιδιοχώρος του $\lambda$ είναι ο $E_{\lambda} = \{ v : Tv = \lambda v\}$ . Είναι εύκολο να δειχθεί πως το $E_{\lambda}$ είναι διανυσματικός χώρος. Η διάσταση του χώρου ονομάζεται γεωμετρική πολλαπλότητα του $\lambda$ και είναι γνωστό ότι είναι μικρότερη ή ίση από την αλγεβρική πολλαπλότητα του $\lambda$ , την πολλαπλότητα δηλαδή του $\lambda$ ως ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του

. Ισχύει λοιπόν ότι $\sum_{\lambda} \dim(E_{\lambda}) \leqslant n$ . Αφού έχουμε n+1

διανύσματα, από περιστεροφωλιά υπάρχει $\lambda$ με $\dim(E_{\lambda}) = k$ αλλά τουλάχιστον k+1

από τα αρχικά διανύσματα ανήκουν στον $E_{\lambda}$ . Αφού όμως κάθε

διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, πρέπει k = n

. Άρα $E_{\lambda} = V$ , όπου

ο αρχικός ν-διάστατος χώρος, και άρα $T = \lambda I$

Γραμμική άλγεβρα - Δ4.35

Γραμμική άλγεβρα - Δ4.35

Re: Γραμμική άλγεβρα

Re: Γραμμική άλγεβρα

Re: Γραμμική άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση