Ακομα μια καλη για Seemous

Nick1990 · #1

Nα αποδειχθεί ότι $\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^n}} = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x^x}dx}$

#2

Nick1990 έγραψε:Nα αποδειχθεί ότι $\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^n}} = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x^x}dx}$

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}\,dx=\int_{0}^{1}e^{-x\ln x}\,dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x\ln x)^{n}}{n!}\,dx}=$

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{1}x^{n}(\ln x)^{n}\,dx\stackrel{(*)}{=}}$

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\Big(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\ln^{n}x-\frac{n}{(n+1)^{2}}x^{n+1}\ln^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{(n+1)^{3}}x^{n+1}\ln^{n-2}x-\cdots+\frac{(-1)^{n}n!}{(n+1)^{n+1}}x^{n+1}\Big|_{0}^{1}\Big)}\stackrel{DLH}{=}$

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\cdot\frac{(-1)^{n}n!}{(n+1)^{n+1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{n}}}$ .

(*) Από τον αναγωγικό τύπο

$\displaystyle{I_{m,n}=\frac{1}{m+1}x^{m+1}\ln^{n}x-\frac{n}{m+1}I_{m,n-1}$ , όπου

$\displaystyle I_{m,n}=\int x^{m}\ln^{n}x\,dx$ για $m\in\mathbb{Z}\smallsetminus\{-1\}$ και $n\in\mathbb{N}$

Μπορούμε αυτήν την ποσότητα να την υπολογίσουμε...;

Nick1990 · #3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Nick1990 έγραψε:Nα αποδειχθεί ότι $\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^n}} = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x^x}dx}$

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}\,dx=\int_{0}^{1}e^{-x\ln x}\,dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x\ln x)^{n}}{n!}\,dx}=$

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{1}x^{n}(\ln x)^{n}\,dx\stackrel{(*)}{=}}$

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\Big(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\ln^{n}x-\frac{n}{(n+1)^{2}}x^{n+1}\ln^{n-1}x+\frac{n(n+1)}{(n+1)^{3}}x^{n+1}\ln^{n-2}x-\cdots+\frac{(-1)^{n}n!}{(n+1)^{n+1}}x^{n+1}\Big|_{0}^{1}\Big)}\stackrel{DLH}{=}$

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\cdot\frac{(-1)^{n}n!}{(n+1)^{n+1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{n}}}$ .

(*) Από τον αναγωγικό τύπο

$\displaystyle{I_{m,n}=\frac{1}{m+1}x^{m+1}\ln^{n}x-\frac{n}{m+1}I_{m,n-1}$ , όπου

$\displaystyle I_{m,n}=\int x^{m}\ln^{n}x\,dx$ για $m\in\mathbb{Z}\smallsetminus\{-1\}$ και $n\in\mathbb{N}$

Μπορούμε αυτήν την ποσότητα να την υπολογίσουμε...;

Σχεδον ιδια λυση με την δικια μου, μονο που υπολογισα κατ ευθειαν το $I_{n,k}$ για m,n

φυσικους με $n \geq m$ και μετα εθεσα οπου

το

. Ο υπολογισμος της συγκεκριμενης ποσοτητας (με ακρα ολοκληρωσης τα 0 και 1) ειναι αμεσος με ολοκληρωση κατα παραγοντες αν πολλαπλασιασουμε και διαιρεσουμε μεσα στο ολοκληρωμα με $\frac{1}{x} = (lnx)'$

#4

Nick1990 έγραψε:Σχεδον ιδια λυση με την δικια μου, μονο που υπολογισα κατ ευθειαν το $I_{n,k}$ για φυσικους με $n \geq m$ και μετα εθεσα οπου το . Ο υπολογισμος της συγκεκριμενης ποσοτητας (με ακρα ολοκληρωσης τα 0 και 1) ειναι αμεσος με ολοκληρωση κατα παραγοντες αν πολλαπλασιασουμε και διαιρεσουμε μεσα στο ολοκληρωμα με $\frac{1}{x} = (lnx)'$

Νίκο σόρυ αλλά είναι πολύ αργά και μετο ζόρι κρατιέμαι να μην πέσω απτην καρέκλα $\Rightarrow$ δεν βλέπω πως υπολογίζεις κατευθείαν το ολοκλήρωμα χωρίς την χρήση του αναγωγικού...αν δε σου κάνει κόπο το γράφεις;

Nick1990 · #5

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Nick1990 έγραψε:Σχεδον ιδια λυση με την δικια μου, μονο που υπολογισα κατ ευθειαν το $I_{n,k}$ για φυσικους με $n \geq m$ και μετα εθεσα οπου το . Ο υπολογισμος της συγκεκριμενης ποσοτητας (με ακρα ολοκληρωσης τα 0 και 1) ειναι αμεσος με ολοκληρωση κατα παραγοντες αν πολλαπλασιασουμε και διαιρεσουμε μεσα στο ολοκληρωμα με $\frac{1}{x} = (lnx)'$
Νίκο σόρυ αλλά είναι πολύ αργά και μετο ζόρι κρατιέμαι να μην πέσω απτην καρέκλα $\Rightarrow$ δεν βλέπω πως υπολογίζεις κατευθείαν το ολοκλήρωμα χωρίς την χρήση του αναγωγικού...αν δε σου κάνει κόπο το γράφεις;

Οχι μαλον εγινε παρεξηγηση. Χρησημοποιω αναγωγικο και βγαζω το Ι_{ν,μ} ως συναρτηση των μ,ν και μετα θετω οπου ν το μ. Με την παραγοντικη μπορουμε να παμε ευκολα απο το Ι_{ν,μ} στο Ι_{ν, μ-1} και να προκειψει μια πολυ απλη αναδρομικη αν λαβουμε υπ οψην οτι ν >= μ και οτι λογο DLH ο ορος που μενει εξω απο ολοκληρωματα μετα την παραγοντικη ειναι 0. Αλλα τωρα που το ξαναβλεπω ειναι μαλον το ιδιο με αυτο που κανατε εσεις στη λυση σας οποτε δεν υπαρχει προβλημα

Ωmega Man · #6

Με βάση τα παραπάνω, ενδιαφέρον θα ήταν να δούμε και κάτι άλλο παρεμφερές, να εκφραστεί ως σειρά το παρακάτω ολοκλήρωμα,
$\colorbox{yellow}{\boxed{\bf\int_{0}^{1}x^x\;dx}}$ .

Ωmega Man · #7

Για το παραπάνω παραθέτω έναν σύνδεσμο. Υπόψιν ότι οι συναρτήσεις αυτής της μορφής λέγονται power tower functions και ότι η συνάρτηση $\bf x^x$ λέγεται power tower πρώτης τάξης.
http://mathworld.wolfram.com/SophomoresDream.html

Ωmega Man · #8

Λίγο διαφοροποιημένος υπολογισμός από αυτόν του Αναστάση.
$\displaystyle{\bf \int_{0}^{1}x^{-x}\;dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{0}^{1}x^{n}(\log(x))^n\;dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\frac{-\Gamma(n+1)}{(-1)^{n+1}(n+1)^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n!}{n!(-1)^{n+1}}\cdot\frac{1}{(n+1)^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}}$

$\bf (*)$ Το ολοκλήρωμα υπολογίστηκε με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών στην $\displaystyle{\colorbox{magenta}{\boxed{\bf\Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{z-1}\;dt}}}$ και χρησιμοποιήθηκε η γνωστή ιδιότητα $\displaystyle{\bf\Gamma({n+1})=n!}$ όταν $\displaystyle{\bf n\in \mathbb{N}}$ .

#9

Ωmega Man έγραψε:Με βάση τα παραπάνω, ενδιαφέρον θα ήταν να δούμε και κάτι άλλο παρεμφερές, να εκφραστεί ως σειρά το παρακάτω ολοκλήρωμα,
$\colorbox{yellow}{\boxed{\bf\int_{0}^{1}x^x\;dx}}$ .

Το πρόβλημα είναι το Α5 από τον Putnam του 1969

#10

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Ωmega Man έγραψε:Με βάση τα παραπάνω, ενδιαφέρον θα ήταν να δούμε και κάτι άλλο παρεμφερές, να εκφραστεί ως σειρά το παρακάτω ολοκλήρωμα,
$\colorbox{yellow}{\boxed{\bf\int_{0}^{1}x^x\;dx}}$ .
Το πρόβλημα είναι το Α5 από τον Putnam του 1969

A4

mathxl · #11

Ας δούμε και στην σελίδα 44 εδώ http://books.google.gr/books?id=lQX6Oy_ ... &q&f=false

Ακομα μια καλη για Seemous

Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Re: Ακομα μια καλη για Seemous

Μέλη σε σύνδεση