Putnam 2016/A1
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2016/A1
Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος έτσι ώστε για κάθε πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, και κάθε ακέραιο , ο ακέραιος (δηλαδή η -οστή παράγωγος του στο ) να διαιρείται με το .
Λέξεις Κλειδιά:
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2016/A1
Η τάξης παράγωγος κάθε όρου του πολυωνύμου είναι και ο συντελεστής είναι γινόμενο διαδοχικών ακεραίων άρα από γνωστή πρόταση είναι πολλαπλάσιο του
Επειδή , άρα ο θα πρέπει να διαιρείται από τους κι έτσι ο ζητούμενος ακέραιος είναι τουλάχιστον το αφού πχ για το πολυώνυμο ισχύει .
Από την άλλη, το πολυώνυμο έχει και διαιρείται μεν από το , το και το αλλά όχι από το (άρα ούτε από το ). Έτσι, ούτε η τιμή είναι δεκτή.
Τέλος, αν τότε αφού κάθε όρος του έχει συντελεστή που είναι πολλαπλάσιο του , θα είναι πολλαπλάσιο και του .
Συνεπώς ο ζητούμενος αριθμός είναι ο .
Αλέξανδρος
Επειδή , άρα ο θα πρέπει να διαιρείται από τους κι έτσι ο ζητούμενος ακέραιος είναι τουλάχιστον το αφού πχ για το πολυώνυμο ισχύει .
Από την άλλη, το πολυώνυμο έχει και διαιρείται μεν από το , το και το αλλά όχι από το (άρα ούτε από το ). Έτσι, ούτε η τιμή είναι δεκτή.
Τέλος, αν τότε αφού κάθε όρος του έχει συντελεστή που είναι πολλαπλάσιο του , θα είναι πολλαπλάσιο και του .
Συνεπώς ο ζητούμενος αριθμός είναι ο .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες