Putnam 2016/A3

#1

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί την συνθήκη

$\displaystyle{f(x)+f\left(1-\frac1x\right)=\arctan x}$

για κάθε $x \neq 0$ . Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{\int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x.}$

#2

Θέτουμε $\displaystyle{\varphi \left( x \right) = 1 - \frac{1}{x}}$ και παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{x \ne 0}$ και $\displaystyle{x \ne 1}$ ισχύουν:

$\displaystyle{{\varphi ^2}\left( x \right): = \left( {\varphi \circ \varphi } \right)\left( x \right) = \frac{1}{{1 - x}}}$

και

$\displaystyle{{\varphi ^3}\left( x \right): = \left( {\varphi \circ \varphi \circ \varphi } \right)\left( x \right) = x.}$

Η δοσμένη σχέση γράφεται, για $\displaystyle{x \ne 0}$ :

$\displaystyle{f\left( x \right) + f\left( {\varphi \left( x \right)} \right) = \arctan x}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ .

Θέτοντας διαδοχικά στην $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ όπου

το $\displaystyle{{\varphi \left( x \right)}}$ και όπου

το $\displaystyle{{\varphi ^2}\left( x \right)}$ βρίσκουμε ότι για $\displaystyle{x \ne 0}$ και $\displaystyle{x \ne 1}$ ισχύουν:

$\displaystyle{f\left( {\varphi \left( x \right)} \right) + f\left( {{\varphi ^2}\left( x \right)} \right) = \arctan \varphi \left( x \right)}$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)$

και

$\displaystyle{f\left( {{\varphi ^2}\left( x \right)} \right) + f\left( x \right) = \arctan {\varphi ^2}\left( x \right)}$ $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ .

Αφαιρώντας τη σχέση $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ από το άθροισμα των σχέσεων $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ και $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ προκύπτει άμεσα ο τύπος της $\displaystyle{f}$ :

$\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {\arctan x + \arctan \left( {\frac{1}{{1 - x}}} \right) - \arctan \varphi \left( x \right)} \right]}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .

Θα προσπαθήσουμε να εκμεταλλευτούμε τις συμμετρίες της $\displaystyle{f}$ για να υπολογίσουμε το ζητούμενο ολοκλήρωμα.

Παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{x \in \left( {0,1} \right)}$ είναι:

$\displaystyle{\arctan \left( {\frac{1}{{1 - x}}} \right) = \frac{\pi }{2} - \arctan \left( {1 - x} \right),}$

οπότε

$\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\left[ {\arctan x - \arctan \left( {1 - x} \right) - \arctan \varphi \left( x \right)} \right]}$ $\bf \color{red} \left( 4 \right)$ .

Επίσης, είναι

$\displaystyle{\varphi \left( {1 - x} \right) = 1 - \frac{1}{{1 - x}} = \frac{x}{{x - 1}} = \frac{1}{{\varphi \left( x \right)}},}$

οπότε (αφού $\displaystyle{\varphi \left( x \right) < 0}$ για $\displaystyle{x \in \left( {0,1} \right)}$ )

$\displaystyle{\arctan \varphi \left( {1 - x} \right) = - \frac{\pi }{2} - \arctan \varphi \left( x \right).}$

Θέτοντας, λοιπόν, όπου

το

στη σχέση $\bf \color{red} \left( 4 \right)$ , βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{f\left( {1 - x} \right) = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\left[ {\arctan \left( {1 - x} \right) - \arctan x + \frac{\pi }{2} + \arctan \varphi \left( x \right)} \right] \Rightarrow }$

$\displaystyle{f\left( {1 - x} \right) = \frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\left[ {\arctan \left( {1 - x} \right) - \arctan x + \arctan \varphi \left( x \right)} \right]}$ $\bf \color{red} \left( 5 \right)$ .

Από τις σχέσεις $\bf \color{red} \left( 4 \right)$ και $\bf \color{red} \left( 5 \right)$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{3\pi }}{4},}$

οπότε

$\displaystyle{\int_0^1 {f\left( x \right)dx = } \frac{1}{2}\int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right)} \right]dx = } \boxed{\frac{{3\pi }}{8}}}$ .

Putnam 2016/A3

Putnam 2016/A3

Re: Putnam 2016/A3

Μέλη σε σύνδεση