Putnam 2016/A5
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2016/A5
Έστω πεπερασμένη ομάδα η οποία παράγεται από δύο στοιχεία και όπου το έχει περιττή τάξη. Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της μπορεί να γραφτεί στην μορφή
όπου και
όπου και
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2016/A5
Ας το δείξουμε πρώτα χωρίς τον περιορισμό .
Έστω η τάξη του και η τάξη του . Άρα
.
Επαναλαμβάνοντας το ίδιο φορές, παίρνουμε το . Άρα μπορούμε να πάρουμε και το . Επομένως μπορούμε να πάρουμε όποιο στοιχείο του θέλουμε.
Μένει τώρα να το δείξουμε και με τον περιορισμό .
Έστω λοιπόν και έστω ότι γράψαμε το στην μορφή με για κάθε και με το να είναι ελάχιστο. Ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι .
Θέτουμε . Είναι άρα τουλάχιστον ένα στοιχείο του εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές στην ακολουθία . Οπότε εμφανίζεται τουλάχιστον δύο φορές με δείκτη της ίδιας αρτιότητας. Τότε όμως υπάρχει ένα γινόμενο διαδοχικών με ίσο αριθμό από δυνάμεις του και του το οποίο ισούται με το ταυτοτικό στοιχείο του . Αγνοώντας αυτές τις δυνάμεις καταλήγουμε σε μια πιο σύντομη έκφραση για το . Άτοπο, άρα .
Έστω η τάξη του και η τάξη του . Άρα
.
Επαναλαμβάνοντας το ίδιο φορές, παίρνουμε το . Άρα μπορούμε να πάρουμε και το . Επομένως μπορούμε να πάρουμε όποιο στοιχείο του θέλουμε.
Μένει τώρα να το δείξουμε και με τον περιορισμό .
Έστω λοιπόν και έστω ότι γράψαμε το στην μορφή με για κάθε και με το να είναι ελάχιστο. Ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι .
Θέτουμε . Είναι άρα τουλάχιστον ένα στοιχείο του εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές στην ακολουθία . Οπότε εμφανίζεται τουλάχιστον δύο φορές με δείκτη της ίδιας αρτιότητας. Τότε όμως υπάρχει ένα γινόμενο διαδοχικών με ίσο αριθμό από δυνάμεις του και του το οποίο ισούται με το ταυτοτικό στοιχείο του . Αγνοώντας αυτές τις δυνάμεις καταλήγουμε σε μια πιο σύντομη έκφραση για το . Άτοπο, άρα .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 19 επισκέπτες