Ανάλυση - Δ1.40

Ilias_Zad · #1

Δίνεται

απο το

στο R με τις εξής δύο ιδιότητες,

1)Η

ικανοποιεί το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών σε οποιοδήποτε κλειστό διάστημα [a,b]

υποσύνολο του [0,1]

2)Για κάθε

στο R , to $f^{-1}(c)$ ειναι κλειστό.

Να δειχτεί ότι οι συνθήκες αυτές είναι αρκετές για να δειχτεί ότι η

ειναι συνεχής.

Nick1990 · #2

Πολυ ωραια, ας βαλω και εγω μια λυση:
Ευκολα η εικονα του [0, 1] μεσω της f ειναι διαστημα Δ. Εστω οτι

ειναι σημειο ασυνεχειας της f στο Δ, τοτε υπαρχει e > 0

και ακολουθιες x_n, d_n

ετσι ωστε $\lim{d_n} = 0, |k - x_n| < d_n, |f(k) - f(x_n)| \geq e \forall n$ . Αυτο σημαινει οτι για απειρα x_n

ειναι $f(x_n) \geq f(k) + e$ η $f(x_n) \leq f(k) - e$ , θεωρουμε χωρις βλαβη της γενικοτητας οτι ισχυει το πρωτο για ολα τα

, αρα $f(x_n) \geq f(k) + e > f(k)$ για καθε

φυσικο, τοτε απο θεωρημα ενδιαμεσων τιμων στο διαστημα D_n

με ακρα τα k, x_n

βρησκουμε $s_n \in D_n$ ωστε f(s_n) = f(k) + e

. Ειναι τωρα $\lim{s_n} = \lim{x_n} = k$ και επηδη η s_n

ειναι ακολουθια του κλειστου συνολου $f^{-1}(f(k) + e)$ εχουμε $\lim{s_n} = k \in f^{-1}(f(k) + e)$ , αρα $f(k) = f(k) + e \Rightarrow e = 0$ , ατοπο.
Αρα η f ειναι συνεχης σε ενα διαστημα Δ.

Ilias_Zad · #3

nick ,αν και αργοπορημενα, ωραια λυση! Κατι παρομοιο ειχα και εγω υποψιν μου !

Ανάλυση - Δ1.40

Ανάλυση - Δ1.40

Re: Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση