Vojtech Jarnik 2017/2 Category I

#1

Λέμε ότι επεκτείνουμε μια ακολουθία θετικών ακεραίων $(a_1,\ldots,a_n)$ αν την αντικαταστήσουμε με την ακολουθία

$\displaystyle{ (1,2,\ldots,a_1,1,2,\ldots,a_2,\ldots,1,2,\ldots,a_n).}$

Δηλαδή κάθε όρος

της αρχικής ακολουθίας αντικαθίσταται με την ακολουθία $1,2,\ldots,k-1$ .

Κάποιος ξεκινάει από την ακολουθία $(1,2,\ldots,9)$ και την επεκτείνει 2017

φορές. Έπειτα, επιλέγει στην τύχη έναν όρο της ακολουθίας. Ποια είναι η πιθανότητα αυτός ο όρος να ισούται με

;

- Αν και δεν το τονίζει η άσκηση εννοείται ότι η επιλογή είναι ομοιόμορφα στην τύχη.
- Με μικρή αλλαγή στην διατύπωση το συγκεκριμένο πρόβλημα θα μπορούσε να μπει και σε διαγωνισμό μαθητών.

dement · #2

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι, μετά από

επεκτάσεις, έχουμε $\displaystyle \binom{9-n+k}{9-n}$ αντίγραφα του ψηφίου

.

Για

είναι $\displaystyle \binom{9-n}{9-n} = 1$ προφανές.

Μετά από κάθε επέκταση το ψηφίο μας θα υπάρχει μία φορά για κάθε φορά που εμφανιζόταν ένα ψηφίο τουλάχιστον ίσο με αυτό στην προηγούμενη επέκταση. Έτσι, $\displaystyle \sum_{i=n}^9 \binom{9-i+k}{9-i} = \sum_{i=n}^9 \binom{9-i+k}{k} = \binom{9-n+k+1}{k+1} = \binom{9-n+k+1}{9-n}$ και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

Έτσι, μετά από 2017

επεκτάσεις θα έχουμε $\displaystyle \binom{2025}{8}$ ψηφία

. Συνολικά, τα ψηφία θα είναι όσα και τα

μετά από

επεκτάσεις, δηλαδή $\displaystyle \binom{2026}{8}$ . Οπότε η πιθανότητα είναι $\displaystyle \frac{\binom{2025}{8}}{\binom{2026}{8}} = \frac{2018}{2026} = \frac{1009}{1013}$ .

Γενικά, μετά από

επεκτάσεις, η πιθανότητα είναι $\displaystyle \frac{k+1}{k+9}$ .

Vojtech Jarnik 2017/2 Category I

Vojtech Jarnik 2017/2 Category I

Re: Vojtech Jarnik 2017/2 Category I

Μέλη σε σύνδεση