Vojtech Jarnik 2017/3 Category II
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Vojtech Jarnik 2017/3 Category II
Έστω ακέραιος . Θεωρούμε το σύστημα
(α) Να δειχθεί ότι η (1) έχει άπειρες πραγματικές λύσεις ώστε οι αριθμοί να είναι διαφορετικοί.
(β) Να δειχθεί ότι κάθε λύση της (1) για την οποία οι δεν είναι όλοι ίσοι ικανοποιεί την συνθήκη .
(α) Να δειχθεί ότι η (1) έχει άπειρες πραγματικές λύσεις ώστε οι αριθμοί να είναι διαφορετικοί.
(β) Να δειχθεί ότι κάθε λύση της (1) για την οποία οι δεν είναι όλοι ίσοι ικανοποιεί την συνθήκη .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category II
Για το β) γράφουμε είναι εύκολο να δούμε ότι είναι ανά δύο διαφορετικοί.
...
Παίρνοντας απόλυτες τιμές και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε ότι .
...
Παίρνοντας απόλυτες τιμές και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε ότι .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category II
Μιας και επανήλθε σε σχέση με την JBMO 2018, βάζω μια λύση και στο (α) ερώτημα.
Αρχικά κάνω την αλλαγή μεταβλητών . Οπότε η συνθήκη γίνεται
για κάποιο πραγματικό .
Ορίζω ακολουθία πολυωνύμων ώστε και για .
Παρατηρώ ότι αν επιλέξω οποιοδήποτε και μετά επιλέξω , τότε τα ικανοποιούν την συνθήκη αρκεί να ισχύει επίσης και ότι και .
Λύνοντας όμως την αναδρομική σχέση έχω για κάποια πολυώνυμα , όπου οι ρίζες του πολυωνύμου . (Αν το πολυώνυμο έχει διακεκριμένες ρίζες.)
Αρκεί λοιπόν να επιλέξω το με τέτοιο τρόπο ώστε το να διαιρεί το . Ένας όμως παράγοντας είναι ο
Οπότε μπορώ να επιλέξω και το ζητούμενο έπεται. Μπορούν μάλιστα να υπολογιστούν και οι τιμές των (εξαρτώνται από το ) αλλά δεν είναι απαραίτητο να γίνει. Το μόνο που χρειάζεται είναι να ελέγξουμε ότι δεν είναι όλα τα ίσα. Ισοδύναμα θέλουμε . Μόνο που για οποιοδήποτε υπάρχουν το πολύ τιμές του που δίνουν (οι λύσεις της ). Άρα υπάρχει κατάλληλη επιλογή.
Στην επίσημη λύση βρίσκει κατάλληλα ώστε .
Αρχικά κάνω την αλλαγή μεταβλητών . Οπότε η συνθήκη γίνεται
για κάποιο πραγματικό .
Ορίζω ακολουθία πολυωνύμων ώστε και για .
Παρατηρώ ότι αν επιλέξω οποιοδήποτε και μετά επιλέξω , τότε τα ικανοποιούν την συνθήκη αρκεί να ισχύει επίσης και ότι και .
Λύνοντας όμως την αναδρομική σχέση έχω για κάποια πολυώνυμα , όπου οι ρίζες του πολυωνύμου . (Αν το πολυώνυμο έχει διακεκριμένες ρίζες.)
Αρκεί λοιπόν να επιλέξω το με τέτοιο τρόπο ώστε το να διαιρεί το . Ένας όμως παράγοντας είναι ο
Οπότε μπορώ να επιλέξω και το ζητούμενο έπεται. Μπορούν μάλιστα να υπολογιστούν και οι τιμές των (εξαρτώνται από το ) αλλά δεν είναι απαραίτητο να γίνει. Το μόνο που χρειάζεται είναι να ελέγξουμε ότι δεν είναι όλα τα ίσα. Ισοδύναμα θέλουμε . Μόνο που για οποιοδήποτε υπάρχουν το πολύ τιμές του που δίνουν (οι λύσεις της ). Άρα υπάρχει κατάλληλη επιλογή.
Στην επίσημη λύση βρίσκει κατάλληλα ώστε .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες