MIPT 2013/2/5
Συντονιστής: Demetres
MIPT 2013/2/5
Δίνονται δύο διαφορετικές ακολουθίες με και μήκους . Δείξτε ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί και τέτοιοι ώστε οι ακολουθίες να διαφέρουν στο πλήθος των άσσων που υπάρχουν στις θέσεις που οι αριθμοί τους είναι ισοϋπόλοιποι με .
Μιχάλης Σαράντης
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: MIPT 2013/2/5
Για είναι και το ζητούμενο είναι προφανές παίρνοντας και οποιαδήποτε θέση στην οποία διαφέρουν οι ακολουθίες. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι .
Έστω το σύνολο των θέσεων όπου η πρώτη ακολουθία έχει άσσους, και το σύνολο των θέσεων όπου η δεύτερη ακολουθία έχει άσσους. Ορίζουμε
Από τα δεδομένα, το είναι μη μηδενικό πολυώνυμο βαθμού το πολύ . Επίσης, για κάθε , αν θέσουμε έχουμε για κάθε αφού κάθε με συνεισφέρει στο , και κάθε με συνεισφέρει στο .
Άρα για κάθε .
Θέτω , και . Για έχουμε οπότε .
Επίσης:
Για κάθε , όλα τα πολυώνυμα είναι πολλαπλάσια του .
Υπάρχουν ακριβώς ακέραιοι , ώστε το πολυώνυμο να είναι πολλαπλάσιο του .
Υπάρχουν το πολύ ακέραιοι , ώστε το πολυώνυμο να είναι πολλαπλάσιο του .
Υπάρχουν ακριβώς ακέραιοι , ώστε το πολυώνυμο να είναι πολλαπλάσιο του .
Άρα το διαιρεί το πολυώνυμο
Από την μία ο βαθμός του είναι το πολύ
Από την άλλη όμως, ο βαθμός του είναι τουλάχιστον
αφού η τελευταία σχέση είναι ισοδύναμη με που ισχύει αφού .
Αυτό όμως είναι άτοπο οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Έστω το σύνολο των θέσεων όπου η πρώτη ακολουθία έχει άσσους, και το σύνολο των θέσεων όπου η δεύτερη ακολουθία έχει άσσους. Ορίζουμε
Από τα δεδομένα, το είναι μη μηδενικό πολυώνυμο βαθμού το πολύ . Επίσης, για κάθε , αν θέσουμε έχουμε για κάθε αφού κάθε με συνεισφέρει στο , και κάθε με συνεισφέρει στο .
Άρα για κάθε .
Θέτω , και . Για έχουμε οπότε .
Επίσης:
Για κάθε , όλα τα πολυώνυμα είναι πολλαπλάσια του .
Υπάρχουν ακριβώς ακέραιοι , ώστε το πολυώνυμο να είναι πολλαπλάσιο του .
Υπάρχουν το πολύ ακέραιοι , ώστε το πολυώνυμο να είναι πολλαπλάσιο του .
Υπάρχουν ακριβώς ακέραιοι , ώστε το πολυώνυμο να είναι πολλαπλάσιο του .
Άρα το διαιρεί το πολυώνυμο
Από την μία ο βαθμός του είναι το πολύ
Από την άλλη όμως, ο βαθμός του είναι τουλάχιστον
αφού η τελευταία σχέση είναι ισοδύναμη με που ισχύει αφού .
Αυτό όμως είναι άτοπο οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες