IMC 2017/1/1

#1

Να βρεθούν όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί $\lambda$ , για τους οποίους υπάρχει θετικός ακέραιος

, και πραγματικός $n\times n$ πίνακας

, ώστε

και το $\lambda$ να είναι ιδιοτιμή του

.

dement · #2

Αφού $A^2 = A^T \implies A^4 = (A^T)^2 = A$ , ισχύει (για τις ιδιοτιμές $\lambda$ του

) $\lambda^4 = \lambda \implies \lambda \in \{ 0, 1, \mathrm{e}^{\pm 2 \pi \mathrm{i} / 3} \}$ .

Λόγω του πίνακα

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & - \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right)$

(που έχει την ιδιότητα της εκφώνησης και ιδιοτιμές τους τέσσερεις προαναφερθέντες αριθμούς) διαπιστώνουμε ότι και οι τέσσερις πιθανές ιδιοτιμές είναι κατάλληλες.

IMC 2017/1/1

IMC 2017/1/1

Re: IMC 2017/1/1

Μέλη σε σύνδεση