IMC 2017/1/2

#1

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to(0,\infty)$ , και έστω ότι υπάρχει σταθερά L>0

ώστε

$\displaystyle{|f'(x)-f'(y)|\leqslant L|x-y|}$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ . Να αποδειχθεί ότι

(f'(x))^2<2Lf(x)

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

dement · #2

Αφού η

είναι Lipschitz, είναι και συνεχής. Έστω τυχαίο σημείο $x_0 \in \mathbb{R}$ .

Για $t \geqslant x_0$ ισχύει $\displaystyle f'(t) \leqslant f'(x_0) + L (t - x_0)$ . Ολοκληρώνοντας από x_0

ως $x \geqslant x_0$ παίρνουμε $\displaystyle 0 < f(x) \leqslant \frac{1}{2} L (x - x_0)^2 + f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0)$ .

Ομοίως, για t < x_0

ισχύει $\displaystyle f'(t) \geqslant f'(x_0) + L (t - x_0)$ . Ολοκληρώνοντας από x_0

ως

παίρνουμε $\displaystyle 0 < f(x) \leqslant \frac{1}{2} L (x - x_0)^2 + f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0)$ .

Έτσι, το τριώνυμο $\displaystyle \frac{1}{2} L (x - x_0)^2 + f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0)$ παίρνει πάντα θετικές τιμές και συνεπώς έχει αρνητική διακρίνουσα, οπότε $\displaystyle f'(x_0)^2 < 2 L f(x_0)$ . Αφού το x_0

είναι τυχαίο σημείο, αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

IMC 2017/1/2

IMC 2017/1/2

Re: IMC 2017/1/2

Μέλη σε σύνδεση