IMC 2017/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2017/2/2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Demetres » Παρ Αύγ 04, 2017 3:38 pm

Έστω μη σταθερό πραγματικό πολυώνυμο p(x). Για κάθε θετικό ακέραιο n, ορίζουμε

\displaystyle{q_n(x) = (x+1)^np(x)+x^n p(x+1).}

Να δειχθεί ότι υπάρχουν πεπερασμένοι θετικοί ακέραιοι n ώστε όλες οι ρίζες του q_n(x) να είναι πραγματικές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2017/2/2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Demetres » Σάβ Αύγ 12, 2017 6:50 pm

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το p(x) είναι μονικό.

Γράφουμε p(x) = x^m + ax^{m-1} + bx^{m-2} + \cdots. [Επιτρέπεται m=1. Σε αυτήν την περίπτωση είναι b=0.]

Υπολογίζουμε τώρα τους τρεις μεγιστοβάθμιους όρους του q_n(x). Μετά από πράξεις, είναι οι:

\displaystyle{ 2x^{m+n} + (2a+n+m)x^{m+n-1} + [b + an + \binom{n}{2} + \binom{m}{2} + a(m-1) + b]x^{m+n-2}}

Επομένως, παραγωγίζοντας n+2 φορές, έχουμε

\displaystyle{ \begin{aligned}
q_n^{(n+m-2)}(x) = (m&+n)!x^2 + (m+n-1)!(2a+n+m)x \\
&+ (m+n-2)!\left[b + an + \binom{n}{2} + \binom{m}{2} + a(m-1) + b\right]
\end{aligned}}

Η διακρίνουσά του ισούται με

\displaystyle{\begin{aligned}
 (n+m+2)^2\Bigg[(m&+n-1)^2(2a+n+m)^2 \\
&- 4(m+n)(m+n-1)\left[b + an + \binom{n}{2} + \binom{m}{2} + a(m-1) + b\right]\Bigg] 
\end{aligned}}

Για μεγάλα n η διακρίνουσα είναι αρνητική. Πράγματι μέσα στην μεγάλη παρένθεση έχουμε ένα πολυώνυμο στο n τετάρτου βαθμού με συντελεστή του n^4 ίσο με 1 - 4\cdot(1/2) = -1. Επειδή τα a,b,m είναι σταθερά, ο ισχυρισμός έπεται.

Άρα για n αρκετά μεγάλο, το q_n^{(m+n-2)}(x) δεν έχει πραγματικές ρίζες. Οπότε το q_n^{(m+n-3)}(x) θα έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα και επαγωγικά το q_n(x) θα έχει το πολύ n+m-2 πραγματικές ρίζες. Δηλαδή θα έχει τουλάχιστον δύο μιγαδικές ρίζες.

Χρησιμοποιήσαμε το δεδομένο ότι αν το πραγματικό πολυώνυμο f έχει k ρίζες, τότε η παράγωγός του f'(x) θα έχει τουλάχιστον k-1 ρίζες.



Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης