IMC 2017/2/3

#1

Ορίζουμε ακολουθία πινάκων $A_1,A_2,\ldots$ με την ακόλουθη αναδρομική σχέση:

$\displaystyle{ A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad A_{n+1} = \begin{pmatrix} A_n & I_{2^n} \\ I_{2^n} & A_n \\ \end{pmatrix} \quad (n=1,2,\ldots)}$

όπου I_m

είναι ο $m\times m$ ταυτοτικός πίνακας.

Να δειχθεί ότι ο A_n

έχει

διακεκριμένες ακέραιες ιδιοτιμές $\lambda_0< \lambda_1<\ldots <\lambda_n$ με πολλαπλότητες $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$ , αντίστοιχα.

#2

Για ένα διάνυσμα $v = (v_1,\ldots,v_k)$ , θα γράφουμε $v^+ = (v_1,\ldots,v_k,v_1,\ldots,v_k)$ και $v^- = (v_1,\ldots,v_k,-v_1,\ldots,-v_k)$ .

Παρατηρούμε ότι αν το

είναι ιδιοδυάνυσμα του A_n

με ιδιοτιμή $\lambda$ , τότε το v^+

είναι ιδιοδυάνυσμα του $A_{n+1}$ με ιδιοτιμή $\lambda+1$ , και το v^-

είναι ιδιοδυάνυσμα του $A_{n+1}$ με ιδιοτιμή $\lambda-1$ .

Επίσης, αν τα $v_1,\ldots,v_r$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε και τα $v_1^+,v_1^-,\ldots,v_r^+,v_r^-$ είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα. Πράγματι αν

$\displaystyle{ \lambda_1^+v_1^+ + \lambda_1^-v_1^- + \cdots + \lambda_r^+v_r^+ + \lambda_r^-v_r^- = 0}$

τότε, κοιτώντας το πρώτο μισό κομμάτι των διανυσμάτων, από την γραμμική ανεξαρτησία των v_i

θα πρέπει να έχουμε

$\displaystyle{\lambda_1^+ + \lambda_1^- = \cdots = \lambda_r^+ + \lambda_r^- = 0}$

Κοιτώντας το δεύτερο μισό θα πρέπει επίσης να έχουμε και

$\displaystyle{\lambda_1^+ - \lambda_1^- = \cdots = \lambda_r^+ - \lambda_r^- = 0}$

Από αυτά παίρνουμε ότι όντως τα $v_1^+,v_1^-,\ldots,v_r^+,v_r^-$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Επομένως αν $\lambda_1,\ldots,\lambda_{2^n}$ είναι με πολλαπλότητα οι ιδιοτιμές του $A_{n-1}$ , τότε οι ιδιοτιμές του A_n

είναι οι $\lambda_1-1,\lambda_1+1,\ldots,\lambda_{2^n}-1,\lambda_{2^n}+1$ .

Οι ιδιοτιμές του A_1

είναι οι

και

με πολλαπλότητα

η κάθε μία. Επαγωγικά τώρα παίρνουμε ότι οι ιδιοτιμές του A_n

είναι οι $\lambda_0 < \cdots < \lambda_n$ όπου $\lambda_k = -n+2k$ με πολλαπλότητα $\binom{n+1}{k}$ .

Πράγματι για το επαγωγικό βήμα παίρνουμε ότι ο $A_{n+1}$ θα έχει την ιδιοτιμή -(n+1) + 2k = -n+2k-1 = -n+2(k-1)+1

με πολλαπλότητα

$\displaystyle{ \binom{n+1}{k} + \binom{n+1}{k-1} = \binom{n+2}{k}}$

IMC 2017/2/3

IMC 2017/2/3

Re: IMC 2017/2/3

Μέλη σε σύνδεση