IMC 2007/2/5
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2007/2/5
Δίνεται θετικός ακέραιος . Να βρεθεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος ώστε να υπάρχουν πραγματικοί πίνακες οι οποίοι να ικανοποιούν τις πιο κάτω συνθήκες:
(1)
(2) για κάθε
(3)
(1)
(2) για κάθε
(3)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: IMC 2007/2/5
Θα αποδείξουμε ότι .
Για την ύπαρξη, έστω βάση του της οποίας τα στοιχεία αναπαριστούμε με -ψήφιους δυαδικούς αριθμούς. Αν το στοιχείο έχει το -οστό ψηφίο , τότε το αντιστοιχεί στο ίδιο στοιχείο με το -οστό ψηφίο . Αλλιώς . Οι ζητούμενες ιδιότητες των πινάκων τώρα έπονται στοιχειωδώς (μεταθετικότητα, μηδενικό τετράγωνο). Το μη μηδενικό γινόμενο έπεται από το γεγονός , όπου το στοιχείο της βάσης με όλα τα ψηφία .
Για το ελάχιστο, για κάθε ορίζουμε τον υπόχωρο ως .
Παρατηρούμε ότι για κάθε θα πρέπει να υπάρχει διάνυσμα που να μην ανήκει στον υπόχωρο που παράγεται από τα στοιχεία των . Aλλιώς, το γινόμενο των πινάκων του , λόγω μηδενικών τετραγώνων και μεταθετικότητας, μηδενίζει κάθε στοιχείο του και το συνολικό γινόμενο των πινάκων του θα είναι μηδενικό. Tο σύνολο , πληθικότητας , θα είναι εκ κατασκευής γραμμικώς ανεξάρτητο. Έτσι, .
Για την ύπαρξη, έστω βάση του της οποίας τα στοιχεία αναπαριστούμε με -ψήφιους δυαδικούς αριθμούς. Αν το στοιχείο έχει το -οστό ψηφίο , τότε το αντιστοιχεί στο ίδιο στοιχείο με το -οστό ψηφίο . Αλλιώς . Οι ζητούμενες ιδιότητες των πινάκων τώρα έπονται στοιχειωδώς (μεταθετικότητα, μηδενικό τετράγωνο). Το μη μηδενικό γινόμενο έπεται από το γεγονός , όπου το στοιχείο της βάσης με όλα τα ψηφία .
Για το ελάχιστο, για κάθε ορίζουμε τον υπόχωρο ως .
Παρατηρούμε ότι για κάθε θα πρέπει να υπάρχει διάνυσμα που να μην ανήκει στον υπόχωρο που παράγεται από τα στοιχεία των . Aλλιώς, το γινόμενο των πινάκων του , λόγω μηδενικών τετραγώνων και μεταθετικότητας, μηδενίζει κάθε στοιχείο του και το συνολικό γινόμενο των πινάκων του θα είναι μηδενικό. Tο σύνολο , πληθικότητας , θα είναι εκ κατασκευής γραμμικώς ανεξάρτητο. Έτσι, .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες