Συνδυαστικό Όριο

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Κατά την επίλυση ενός προβλήματος μου προέκυψε το παρακάτω όριο. Δεν δίνω την τιμή του γιατί μάλλον θα ''καρφώσω'' την μέθοδο. Για όποιον θέλει να ασχοληθεί λοιπόν:

Να υπολογίσετε το $\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{2k}(-1)^k\frac{1}{n^{2k}}$ .

#2

Από διωνυμικό θεώρημα έχουμε

$\displaystyle (1+z)^n + (1-z)^n = 2\sum_{k \text{ \gr άρτιος}} \binom{n}{k} z^k = 2 \sum_{k = 0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} z^{2k}$

Θέτοντας z = i/n

παίρνουμε

$\displaystyle \sum_{k = 0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} (-1)^k \frac{1}{n^{2k}} = \frac{\left(1+\tfrac{i}{n}\right)^n + \left(1+\tfrac{i}{n}\right)^n }{2} \to \frac{e^i + e^{-i}}{2} = \cos{1}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 25, 2018 3:11 pm
Κατά την επίλυση ενός προβλήματος μου προέκυψε το παρακάτω όριο. Δεν δίνω την τιμή του γιατί μάλλον θα ''καρφώσω'' την μέθοδο. Για όποιον θέλει να ασχοληθεί λοιπόν:

Να υπολογίσετε το $\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{2k}(-1)^k\frac{1}{n^{2k}}$ .

Θα δώσω μια απόδειξη χωρίς μιγαδικούς.

Θέτουμε $a_{n}=\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{2k}(-1)^k\frac{1}{n^{2k}}$

και $b_{n}=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\frac{1}{(2k)!}$

Είναι $b_{n}-a_{n}=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\frac{1}{(2k)!}(1-\dfrac{n(n-1)..(n-2k+1)}{n^{2k}})$ (1)

Αλλά

$\dfrac{n(n-1)..(n-2k+1)}{n^{2k}}=(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{2k-1}{n})\geq 1-\dfrac{1+2+...+2k-1}{n}=1-\dfrac{(2k-1)2k}{2n}$

Χρησιμοποιώντας τριγωνική και την τελευταία η (1) δίνει

$\left | b_{n}-a_{n} \right |\leq \sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}\frac{1}{(2k)!}\frac{(2k-1)2k}{2n}=\sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]}\frac{1}{(2(k-1)!}\frac{1}{2n}\leq \frac{c_{1}}{n}$

Είναι γνωστό ότι $b_{n}\rightarrow \cos 1$

και εύκολα δείχνεται ότι $\left | b_{n} -\cos 1\right |\leq \frac{c_{2}}{n}$

Ετσι $\left | a_{n}-\cos 1 \right |\leq \left | a_{n} -b_{n}\right |+\left | b_{n} -\cos 1\right |\leq \frac{c}{n}$

Η τελευταία δίνει το ζητούμενο αλλά και ότι για 0<a<1

είναι

$\lim_{n\rightarrow \infty }n^{a}\left | a_{n} -\cos 1\right |=0$

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Σας ευχαριστώ και τους δύο. Η λύση μου συμπίπτει με του κ. Δημήτρη.

Συνδυαστικό Όριο

Συνδυαστικό Όριο

Re: Συνδυαστικό Όριο

Re: Συνδυαστικό Όριο

Re: Συνδυαστικό Όριο

Μέλη σε σύνδεση