IMC 2018/2/2

#1

Έστω ακολουθία πραγματικών $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ ώστε a_0=0

και

$\displaystyle a_{n+1}^3=a_n^2-8$ για $n=0,1,2,\ldots$ .

Να δειχθεί ότι η $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{|a_{n+1}-a_n|}$ συγκλίνει.

Nick1990 · #2

Αυτό μου άρεσε. Πρωτα απ' όλα παρατηρούμε ότι $a_{n+1} \geq -2$ για κάθε

, καθώς διαφορετικά θα είχαμε a^2_n < 0

.

Μετά, δείχνουμε πως η ακολουθία είναι μη θετική. Αν δεν είναι, τότε επειδή a_1 = -2

, υπάρχει

με $a_m \leq 0$ και $a_{m+1} > 0$ , οπότε $a^2_{m} = a^3_{m+1} + 8 > 8$ , άρα $a_{m} < -2\sqrt{2} < -2$ , άτοπο.

Έχουμε τώρα $8 = -a^3_{n+1} + a^2_{n} \leq 2a^2_{n+1} + a^2_{n}$ .

Ακομα, από την αναδρομική έχουμε εύκολα με επαγωγή: $a_n < a_{n+1}$ για

περιττό και ανάποδα για

άρτιο. Άρα η προηγούμενη ανισότητα δίνει γενικά, $8 \leq 2a^2_{n+1} + a^2_{n} \leq 2a^2_{n+1} + 2a^2_{n} \Rightarrow a^2_{n+1} + a_{n+1}a_{n} + a^2_{n} \geq a^2_{n+1} + a^2_{n} \geq 4$ , ενώ για

περιττό $8 \leq 2a^2_{n+1} + a^2_{n} \Rightarrow a^2_{n+1} + a_{n+1}a_{n} + a^2_{n} \geq 2a^2_{n+1} + a^2_{n} \geq 8$ .

Επομένως έχουμε: $a^3_{n+1} - a^3_n = a^2_n - a^2_{n-1} \Rightarrow \left|a_{n+1} - a_n\right| = \left|a_{n} - a_{n-1}\right|\frac{\left|a_n + a_{n-1}\right|}{a^2_{n+1} + a_{n+1}a_n + a^2_n} \leq \left|a_{n} - a_{n-1}\right|\frac{4}{a^2_{n+1} + a_{n+1}a_n + a^2_n}$

Οπότε από τις 3 τελευταίες έχουμε: $\left|a_{n+1} - a_n\right| \leq \left|a_{n} - a_{n-1}\right|$ γενικά και $\left|a_{n+1} - a_n\right| \leq \frac{1}{2}\left|a_{n} - a_{n-1}\right|$ για

περιττό. Άρα έχουμε:

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\left|a_{n+1} - a_n\right| \leq 2\sum_{k=1}^{+\infty}\left|a_{2k} - a_{2k-1}\right|}$
όπου για τον

οστό όρο έχουμε:
$\left|a_{2k} - a_{2k-1}\right| \leq \frac{1}{2}\left|a_{2k-1} - a_{2k-2}\right| \leq \frac{1}{2}\left|a_{2(k-1)} - a_{2(k-1) - 1}\right|$ και άρα το κριτήριο λόγου μας λέει πως η τελευταία συγκλίνει (ή πιο απλά, φράσουμε από Γεωμετρική σειρά). Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:41 am
Έστω ακολουθία πραγματικών $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ ώστε και

$\displaystyle a_{n+1}^3=a_n^2-8$ για $n=0,1,2,\ldots$ .

Να δειχθεί ότι η $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{|a_{n+1}-a_n|}$ συγκλίνει.

Γράφουμε

$a_{n+1}=(a_n^2-8)^{\frac{1}{3}}$
(δεν νομίζω εδώ να έχουν πρόβλημα με αρνητικές τρίτες ρίζες)

Θεωρούμε την $f(x)=(x^2-8)^{\frac{1}{3}}$

Εύκολα βλέπουμε ότι $f:[-2,0]\rightarrow [-2,0]$

και $f'(x)=\frac{2x}{3}(x^{2}-8)^{\frac{-2}{3}}$

οπότε στο [-2,0]

είναι $\left | f'(x) \right |\leq \frac{4}{3}(\frac{1}{16})^{\frac{1}{3}}=L<1$

Είναι $a_{n+1}=f(a_{n})$

Τα παρακάτω είναι γνωστά (θεώρημα σταθερού σημείου στην Αριθμητική Ανάλυση)

$\left | a_{n+1}-a_{n} \right |\leq L\left | a_{n}-a_{n-1} \right |\leq L^{n}\left | a_{1}-a_{0} \right |$

οπότε λόγω γεωμετρικής σειράς έχουμε την σύγκλιση.

To $a_{0}=0$ είναι παραπλανητικό.

Θα μπορούσε να δοθεί $a_{0}\in [-2,0]$

IMC 2018/2/2

IMC 2018/2/2

Re: IMC 2018/2/2

Re: IMC 2018/2/2

Μέλη σε σύνδεση