IMC 2018/2/4

#1

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη μιγαδικών πολυωνύμων P(x),Q(x)

με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με

ώστε το

να διαιρεί το Q(x)^2+1

και το

να διαιρεί το P(x)^2+1

.

christinat · #2

Έστω δυο πολυωνυμα $P,Q\in \mathbb{C}$
Αν τα πολυώνυμα αυτά είναι μονικά τέτοια ώστε $P*Q|P^{2}+Q^{2}+1$ τοτε degP=degQ

(1)
Απόδειξη:
Εστω ότι υπάρχουν ζεύγη πολυωνυμων $(P_{i },Q_{i })$ με $degP_{i }\neq degQ_{i }$ (2)

Υποθέτουμε ότι υπάρχει ζεύγος τέτοιων πολυωνυμων (P,Q)

με $degP+degQ<degP_{i }+degQ_{i }$ (3) για κάθε αλλο ζεύγος πολυωνυμων που ικανοποιεί την σχεση (2)

Αν degP>degQ

και

πολυωνυμο τέτοιο ώστε: $\frac{P^{2}+Q^{2}+1}{Q*P}=H$

Από την παραπάνω σχεση προκύπτει ότι το

είναι ρίζα της εξίσωσης $X^{2}-QHX+Q^{2}+1=0$

Από τους τύπος Vieta

η άλλη λυση είναι $R=QH-P=\frac{Q^{2}+1}{P}$ .Η σχεση αυτή δείχνει ότι το

είναι μονικό πολυώνυμο

Άρα το ζεύγος (R,Q)

ικανοποιεί την σχεση (1)

Ισχύει ότι degR=2degQ-degP<deg P

,άτοπο λόγω της σχέσης (3)

Η σχεση (1) δίνει $deg(PQ)=deg(P^{2}+Q^{2}+1)$
Οποτε το πολυωνυμο $\frac{P^{2}+Q^{2}+1}{PQ}$
είναι σταθερό

Αν P,Q

είναι σταθερά πολυώνυμα τοτε P=Q=1

Αν $degP=degQ\geq 1$ τοτε αφού τα P,Q

είναι μονικα ισχύει ότι ο συντελεστής του
μεγιστοβαθμιου όρου του πολυωνύμου $P^{2}+Q^{2}+1$ είναι το 2 και ο μεγιστοβαθμιος συντελεστής του

είναι το 1

Άρα $\frac{P^{2}+Q^{2}+1}{PQ}=2$

Συνεπώς $P^{2}+Q^{2}+1=2PQ$ και $(P-Q)^{2}=-1$

Οποτε Q=P+i

ή

IMC 2018/2/4

IMC 2018/2/4

Re: IMC 2018/2/4

Μέλη σε σύνδεση