Putnam 1994

[AlexandrosG]

Έστω 2x2 πίνακες με ακέραια στοιχεία τέτοιοι ώστε οι πίνακες είναι αντιστρέψιμοι και οι αντίστροφοι τους έχουν ακέραια στοιχεία. Να δειχθεί ότι το ίδιο ισχύει και για τον .

[billy_scabilly]

Xμμ,μια ιδέα στα γρήγορα:H oρίζουσα των Α + xB ,0<=x<=4 θα είναι είτε 1 είτε -1,επειδή έχει ακέραια στοιχεία τόσο αυτός όσο και ο αντίστροφος,οπότε τουλάχιστον 3 από αυτές τις ορίζουσες θα είναι ίσες.Όμως η ορίζουσα του Α+xΒ θα είναι τριώνυμο ως προς x,άρα θα είναι σταθερό και ίσο με 1 ή -1,ανάλογα τα 3 αυτά σημεία,oπότε και ο ζητούμενος πίνακας θα είναι αντιστρέψιμος.Τώρα,για τον αντίστροφο,το ότι έχει ακέραιες εγγραφές είναι φανερό από τον τύπο με την ορίζουσα και τα αλγεβρικά συμπληρώματα,επειδή η ορίζουσα είναι 1 ή -1 και ο adjoint θα χει ακέραια στοιχεία.

[AlexandrosG]

Ταχύτατος, σωστός και ωραίος.

to

[Nick1990]

Ειχε μπει αυτο το προβλημα σε Putnam? Γιατι φετος σε γνωστο φοιτητικο διαγωνισμο για Ευρωπαικα πανεπιστημια εβαλαν μια - καθολου δυσκολοτερη - γενικευση:

http://vjimc.osu.cz/j20/j20problems2.pdf

[Ilias_Zad]

Οντως περίεργο..

Όπως και να έχει όμως παιδιά ,

καλή επιτυχία αύριο στον προκριματικό του πολυτεχνείου!!