Ένα διωνυμικό άθροισμα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το άθροισμα

$\displaystyle{\mathcal{S}_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{k!}{(n+1+k)!}}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 22, 2022 7:36 pm
Να υπολογιστεί το άθροισμα

$\displaystyle{\mathcal{S}_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{k!}{(n+1+k)!}}$

Είναι $\displaystyle{\mathcal{S}_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{k!}{(n+1+k)!}}=\sum_{k=0}^n \dfrac{n!\cdot k!}{k!\cdot(n-k)!\cdot (n+1+k)!}=\dfrac{n!}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n\dfrac{(2n+1)!}{(n-k)!\cdot (n+1+k)!}=$
$\displaystyle =\dfrac{n!}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{n-k}=\dfrac{n!}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{k}$ .
Είναι $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}=\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{k}+\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2n+1-k}=2\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{k}$ .
Άρα $\displaystyle{\mathcal{S}_n=\dfrac{n!}{2(2n+1)!}\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}=\dfrac{2^{2n}n!}{(2n+1)!}$ .

Ένα διωνυμικό άθροισμα

Ένα διωνυμικό άθροισμα

Re: Ένα διωνυμικό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση