Πόσα στοιχεία τάξης p;

[Demetres]

Έστω πρώτος, μια ομάδα με και έστω ο αριθμός των στοιχείων της που έχουν τάξη . Να δειχθεί ότι

[dimitris pap]

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η απόδειξη είναι ίδια με αυτή του θεωρήματος Cauchy που μας λέει ότι αν διαιρεί το τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο με τάξη p.
Λίγο πιο συγκεκριμένα, παίρνουμε το να δρά ("acts"/ αλλά δεν έχω ιδέα ποιος είναι ο όρος στα ελληνικά ) στο σύνολο

[achilleas]

1) Αρχικά, ας αναφέρουμε ότι εφαρμογή του παραπάνω προβλήματος είναι και μια άλλη απόδειξη του θεωρήματος Wilson της θεωρίας αριθμών. ( A Group-Theoretic Proof of Wilson's Theorem, Walter Feit, The American Mathematical Monthly, Vol. 65, No. 2 (Feb., 1958), p. 120)

2) Μια άλλη υπόδειξη υπάρχει στο βιβλίο του Isaacs, Algebra, a Graduate Course, σελ. 68, πρόβλημα 5.16:

"Υποδ. Έστω μια -Sylow υποομάδα της και . H δρα στο με συζυγία και το είναι υποομάδα της ."

Όπως αναφέρει κι εκεί, το παραπάνω πρόβλημα είναι μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Frobenius.

3) Απόδειξη του γενικότερου θεωρήματος μπορεί κανείς να δεί στο

www.math.wisc.edu/~jensen/frobtalk.pdf

4) Ενδεικτικά αναφέρω μια ακόμα παραπομπή

A Theorem of Frobenius and Its Applications
Dinesh Khurana and Anjana Khurana
Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 3 (Jun., 2005), pp. 220-225

από την οποία κάποιος μπορεί να βρει περισσότερα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Demetres]

Ήταν το πρόβλημα Α5 από τον Putnam του 2007.