Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

tsif...tis · #1

Ο καθηγητής μας στα μαθημάτικα, την προηγούμενη φορά, μας μίλησε για τα 3 Άλυτα Προβλήματα της Αρχαιότητας...
Μας ανέθεσε κιόλας να "τριχοτομήσουμε"

μια γωνία ΜΟΝΟ

με ΚΑΝΟΝΑ και ΔΙΑΒΗΤΗ!!!!!

Καμιά ιδέα???

#2

tsif...tis έγραψε:Ο καθηγητής μας στα μαθημάτικα, την προηγούμενη φορά, μας μίλησε για τα 3 Άλυτα Προβλήματα της Αρχαιότητας...
Μας ανέθεσε κιόλας να "τριχοτομήσουμε" μια γωνία ΜΟΝΟ με ΚΑΝΟΝΑ και ΔΙΑΒΗΤΗ!!!!!

Καμιά ιδέα???

Αφού, όπως φαίνεται, γνωρίζεις ότι μία γωνία δέν τριχοτομείται μέ κανόνα καί διαβήτη, γιατί δέν ψάχνεις γιά μιά κατασκευή-απόδειξη γιά τό ότι δέν τριχοτομείται!

φιλικά

chris · #3

Βέβαια η τριχοτόμηση της ορθής γωνίας πχ. είναι εφικτή με κανόνα και διαβήτη ωστόσο δεν καταλαβαίνω γιατί κατι τέτοιο ανατέθηκε σε μαθητές Α Γυμνασίου....

#4

Μήπως όμως σας έδωσε κάποια γωνία από αυτές που συμβαίνει να τριχοτομούνται ;

Στο τρίγωνο $\triangle ABC$ για παράδειγμα, με $AB = \sqrt{10}$ και BC = 5

και $AC = \sqrt{17},$ η γωνία $\angle B$ τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη.

Θα βάλω αργότερα σχήμα.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το ίδιο ισχύει ( ότι τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη ), για κάθε γωνία που είναι ίση με συγκεκριμένη γωνία τριγώνου του οποίου οι πλευρές σχετίζονται με τις Πυθαγόρειες τριάδες.

#5

Το εξής δεν είναι πολύ γνωστό αλλά όφειλε να είναι περισότερο γνωστό (*):

Οι ακέραιες γωνίες που κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη είναι τα πολλαπλάσια του 3, και μόνον αυτά.

Ένα πόρισμα: Η γωνία 60 μοιρών δεν τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη γιατί τότε θα κατασκευαζόταν η γωνία 20 μοιρών η οποία δεν είναι πολλαπλάσιο του 3.

(*) η απόδειξη, αν και όχι ιδιαίτερα δύσκολη, ξεφεύγει της Σχολικής ύλης.

Γρήγορη αιτιολόγιση για αυτούς που ξέρουν Θεωρία Galois:

Η γωνία 12 μοιρών κατασκευάζεται ως 72-60 (η 72 προκύπτει από το κανονικό πεντάγωνο και η 60 είναι βέβαια απλή). Με διχοτόμηση κατασκευάζονται οι 6 και 3, και άρα όλα τα πολλαπλάσια του 3. Από την άλλη είναι γνωστό από Θεωρία Galois ότι δεν κατασκευάζεται η τριχοτόμος 20 των 60. Άρα δεν κατασκευάζεται η γωνία 1 μοίρας (αλλιώς θα φτιάχναμε
την 20 = 18 + 1 + 1). Όμοια έπεται ότι δεν κατασκευάζονται οι 3κ + 1, 3κ+2. Μένουν οι 3κ.

Φιλικά

Μιχάλης Λάμπρου

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:Το εξής δεν είναι πολύ γνωστό αλλά όφειλε να είναι περισότερο γνωστό (*):

Οι ακέραιες γωνίες που κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη είναι τα πολλαπλάσια του 3, και μόνον αυτά.
....

Μιχάλης Λάμπρου

Λαμβάνοντας αφορμή από το παραπάνω, αναρωτήθηκα ως φοιτητής ποιες ρητές γωνίες είναι κατασκευάσιμες όταν κάναμε Θεωρία Galois.

Όταν ανακάλυψα την απάντηση είχα ενθουσιαστεί πάρα πολύ. Η απάντηση ήταν ακόμη λιγότερο γνωστή. Τελικά, μετά από αρκετό ψάξιμο τη βρήκα μόνο σε ένα βιβλίο της βιβλιοθήκης του Πανεπιστημίου Αθηνών κι ο αρχικός μου ενθουσιασμός μετριάστηκε λιγάκι....

Πρόβλημα: Να βρεθούν οι ρητές γωνίες $\frac{m}{n}$ ( $m,n\geq 1, \gcd(m,n)=1$ ) που κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

Επίσης, από τήν θεωρία $\rm{Galois}$ , ισχύει:

Μιά γωνία $\theta$ μπορεί νά τριχοτομηθεί μέ κανόνα καί διαβήτη, άν καί μόνο άν, τό πολυώνυμο $4x^3-3x-\sigma\upsilon\nu\,\theta$ είναι μή-ανάγωγο πάνω από τό ${\mathbb{Q}}({\sigma\upsilon\nu\,\theta})$ .

#8

Για τις ακέραιες γωνίες γνώριζα. Για τις ρητές όχι. Για να δούμε:

Ισχυρίζομαι ότι η γωνία m/n

όπου $m,n \in \mathbb{N}$ με (m,n)=1

είναι κατασκευάσιμη αν και μόνο αν
α) Το

είναι πολλαπλάσιο του 3
β) Το

είναι της μορφής $2^r p_1 \cdots p_k$ , όπου $p_1,\ldots,p_k$ είναι διακεκριμένοι πρώτοι της μορφής $2^{2^s} + 1$ όλοι όμως διαφορετικοί του 3 και 5.

Για το αποτέλεσμα θα χρησιμοποιήσω

Λήμμα 1: Αν $n \in \mathbb{N}$ , τότε η γωνία

μοιρών είναι κατασκευάσιμη αν και μόνο αν το

είναι πολλαπλάσιο του 3.

Λήμμα 2: Έστω $k,n \in \mathbb{N}$ με (k,n) = 1

. Τότε η

είναι κατασκευάσιμη αν και μόνο αν η 3/n

είναι κατασκευάσιμη.

Απόδειξη: Το «αν» είναι προφανές. Για το «μόνο αν», αφού η γωνία τριών μοιρών είναι κατασκευάσιμη, τότε και η (3n-3k)/n

είναι κατασκευάσιμη. Αλλά (3n-3k,3k) = 3(n-k,k) = 3(n,k) = 3

. Άρα υπάρχουν ακέραιοι a,b

ώστε

και άρα η γωνία 3/n

είναι κατασκευάσιμη.

Λήμμα 3 (Gauss): Tο κανονικό

-γωνο είναι κατασκευάσιμο αν και μόνο αν ο

είναι της μορφής $2^r p_1 \cdots p_k$ , όπου $p_1,\ldots,p_k$ είναι διακεκριμένοι πρώτοι της μορφής $2^{2^s} + 1$ .

Από το Λήμμα 3 βρίσκουμε ότι η γωνία 360/n

και άρα και η γωνία 45/n

είναι κατασκευάσιμη αν και μόνο αν o

είναι της πιο πάνω μορφής.

Αν ισχύουν λοιπόν τα (α) και (β), τότε η γωνία 45/n

είναι κατασκευάσιμη άρα και η 3/n

είναι κατασκευάσιμη και άρα και η m/n

είναι κατασκευάσιμη.

Μένει να δείξουμε το αντίστροφο. Αν η m/n

είναι κατασκευάσιμη τότε και η

είναι κατασκευάσιμη άρα το

είναι πολλαπλάσιο του

, δηλαδή το (α) ισχύει. Ας υποθέσουμε πως το (β) δεν ισχύει. Από το (α) και την συνθήκη (m,n) = 1

σίγουρα $3 \nmid n$ . Θα εξετάσουμε δυο περιπτώσεις

Α) $5 \nmid n$ : Η γωνία 45/n

δεν είναι κατασκευάσιμη και αφού (45,n)=1

, ούτε και η 3/n

είναι κατασκευάσιμη, άρα ούτε και η m/n

είναι κατασκευάσιμη, άτοπο.

Β) $5 \mid n$ : Αφού η m/n

είναι κατασκευάσιμη, τότε και η m/5

είναι και αφού (m,5)=1

και

τότε και η 3/5

είναι κατασκευάσιμη. Όμως γνωρίζουμε ότι η 45/25 = 9/5

δεν είναι κατασκευάσιμη άρα ούτε και η 3/5.

#9

Πολύ ωραία, Δημήτρη.

Παρέλειψα να πω πως εκτός από ένα βιβλίο την απάντηση την βρήκα τυχαία και στο παρακάτω άρθρο:

On the constructibility of rational angles

Author: Silver, Murray
Journal: Elemente der Mathematik
Volume: 33 (1978)
Publisher: Birkhäuser

http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=e ... owse4&id3=

Παρεπιμπτόντως, οι περισσότεροι τόμοι του παραπάνω εξαιρετικού περιοδικού, του Elemente De Mathematik, διατίθονται δωρεάν online.

http://retro.seals.ch/digbib/vollist?UI ... d2=browse4

Τα περισσότερα άρθρα είναι στα γερμανικά (δυστυχώς για μένα!) αλλά υπάρχουν και κάποια στα αγγλικά.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#10

Για την ερώτηση του Αχιλλέα, είχα διαβάσει και εγώ την περίοδο του μαθήματος Θεωρία Galois, (μετά από ψάξιμο) την απάντηση στο άρθρο που επισυνάπτω (από το The College Mathematics Journal 9, 1978).
Σε βιβλία δεν την έχω συναντήσει.

achilleas έγραψε: Τελικά, μετά από αρκετό ψάξιμο τη βρήκα μόνο σε ένα βιβλίο της βιβλιοθήκης του Πανεπιστημίου Αθηνών κι ο αρχικός μου ενθουσιασμός μετριάστηκε λιγάκι....

Αχιλλέα σε πιο βιβλίο την συνάντησες;

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

#11

nkatsipis έγραψε:...

Αχιλλέα σε πιο βιβλίο την συνάντησες;

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

Αν δεν κάνω λάθος την είχα δει ως άσκηση με αστερίσκο στο βιβλίο

FIELD THEORY AND ITS CLASSICAL PROBLEMS, Charles Hadlock, ΜΑΑ.

Δεν είμαι 100% σίγουρος, όμως.
Δεν έχω το άνω βιβλίο για να το ελέγξω και πάνε αρκετά χρόνια από τότε.

Αν το έχει κάποιος, θα χαρώ να μάθω αν είναι έτσι.

Αχιλλέας

#12

achilleas έγραψε:
Αν δεν κάνω λάθος την είχα δει ως άσκηση με αστερίσκο στο βιβλίο

FIELD THEORY AND ITS CLASSICAL PROBLEMS, Charles Hadlock, ΜΑΑ.

Δεν είμαι 100% σίγουρος, όμως.
Δεν έχω το άνω βιβλίο για να το ελέγξω και πάνε αρκετά χρόνια από τότε.

Αν το έχει κάποιος, θα χαρώ να μάθω αν είναι έτσι.

Αχιλλέας

Ο Αχιλλέας για άλλη μια φορά επιβεβαίωσε την εκπληκτική μνήμη του. Πράγματι υπάρχει σχετική άσκηση στο παραπάνω βιβλίο (σελίδα 119, πρόβλημα 4) και η λύση του υπάρχει στην σελίδα 275.
Μαυρογιάννης

Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Re: Πώς να τριχοτομήσουμε μία γώνια

Μέλη σε σύνδεση