Aνισοτητα...

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Aν x,y,z είναι ομοσημοι πραγματικοι τοτε να δειχθει ότι:
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$ .

Ανδρέας Πούλος · #2

'Ολες οι συλλογές ασκήσεων για ανισότητες την έχουν αυτούσια ή με παραλλαγές.

Εκτελούμε τις πράξεις στις παρενθέσεις, προκύπτουν 3 μονάδες και θετικοί αριθμοί, οι οποίοι ανά δύο είναι αντίστροφοί.
Γνωρίζουμε και τη βασική ανισότητα $a + \frac{1}{a} \geq 2$ , για κάθε θετικό αριθμό α και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Μήπως είναι καλύτερο να έμπαινε στην στήλη μόνο για μαθητές;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#3

maths-!!! έγραψε:Aν x,y,z είναι ομοσημοι πραγματικοι τοτε να δειχθει ότι:
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$ .

αρκεί να δείξουμε ότι: $\displaystyle{(1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z})+(\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z})+(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1)\geq 9}$

δηλαδή $\displaystyle{(\frac{x}{y}+\frac{x}{z})+(\frac{y}{x}+\frac{y}{z})+(\frac{z}{x}+\frac{z}{y})\geq 6}$

το οποίο ισχύει αφού $\displaystyle{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2}$ ,με την ισότητα όταν x=y

#4

maths-!!! έγραψε:Aν x,y,z είναι ομοσημοι πραγματικοι τοτε να δειχθει ότι:
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$ .

Πράγματι είναι πολυσυζητημένη ανισότητα. Μία διαφορετική λύση είναι με Cauchy_Schwarz,
Για (χωρίς βλάβη) θετικά x, y, z είναι:

$9 = (\sqrt x \cdot\frac{1}{\sqrt x}+\sqrt y \cdot\frac{1}{\sqrt y}+\sqrt z \cdot\frac{1}{\sqrt z})^2 \le(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ .

Φιλικά,

Μ.

Dreamkiller · #5

Διαφορετικά, είναι η ανισότητα Αριθμητικού-Αρμονικού Μέσου αν κάνουμε το γινόμενο χιαστί.

Aνισοτητα...

Aνισοτητα...

Re: Aνισοτητα...

Re: Aνισοτητα...

Re: Aνισοτητα...

Re: Aνισοτητα...

Μέλη σε σύνδεση