Δείξτε ότι δεν υπάρχουν

kostas136 · #1

Δείξτε ότι δεν υπάρχουν $a, b, c\in R$ ώστε να ικανοποιούν ταυτόχρονα τις $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$ και $\displaystyle a+b+c=\sqrt{2}$

#2

Μία λύση με απόκρυψη, για όποιον φίλο θέλει να ασχοληθεί.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

nonlinear · #3

Πολλαπλασιαζω με αβγ την πρωτη και παιρνω αβ+βγ+γα=1 και α+β+γ=ριζα(2) .Υψωνω στο τετραγωνο την τελευταια και εχω α^2+β^2+γ^2+2(αβ+βγ+γα)=2 -> α^2+β^2+γ^2=0 -> α=β=γ=0 κατι που δεν μπορει να ισχυει.

kostas136 · #4

Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση. Την έφτιαξα με τον τρόπο που λύθηκε από τον nonlinear.

#5

Πάρα πολύ ωραία άσκηση αλλά μάλλον δυσκολούτσικη για τον μέσο μαθητή.

Ίσως αν διατυπωθεί λίγο αλλιώς, γίνεται πιο προσιτή:

Δείξτε ότι αν a, b, c $\ge 0$ με ab+bc+ca=1, τότε a+b+c > $\sqrt2$ .

Απόδειξη όπως παραπάνω αλλά, χάριν πληρότητας και για όφελος των μαθητών μας, ας την γράψω.

Είναι $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = a^2+b^2+c^2+2\ge 2$
με ισότητα αν και μόνον αν $a^2+b^2+c^2=0\,\,$ δηλαδή a=b=c=0. Το τελευταίο
όμως αποκλείεται καθώς ab+bc+ca=1. Τελικά (a+b+c)^2 > 2,

και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Δείξτε ότι δεν υπάρχουν

Δείξτε ότι δεν υπάρχουν

Re: Δείξτε ότι δεν υπάρχουν

Re: Δείξτε ότι δεν υπάρχουν

Re: Δείξτε ότι δεν υπάρχουν

Re: Δείξτε ότι δεν υπάρχουν

Μέλη σε σύνδεση