Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

mathxl · #1

Για ποια τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\alpha \in R}$
η εξίσωση $\displaystyle{{\left( {x - 1} \right)^3} + {\left( {x + 1} \right)^3} + {x^3} = 3x\left( {{x^2} - \alpha + 1} \right)}$
είναι ταυτότητα;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

stavros11 · #2

mathxl · #3

Σταύρε ωραία!
Δυσκολεύομαι να καταλάβω πως στην τελευταία σου συνεπαγωγή βρήκες ότι α = - 1 . Πως το σκέφτηκες;
Απορία: Γιατί το α δεν μπορεί να είναι 0 ή 2010;

stavros11 · #4

mathxl έγραψε:Σταύρε ωραία!
Δυσκολεύομαι να καταλάβω πως στην τελευταία σου συνεπαγωγή βρήκες ότι α = - 1 . Πως το σκέφτηκες;
Απορία: Γιατί το α δεν μπορεί να είναι 0 ή 2010;

Θέλουμε η εξίσωση x=-ax

να είναι ταυτότητα, δηλαδή να ισχύει για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Άρα θα πρέπει να μπορεί να πάρει την μορφή 0x=0

(ή

). Στην συγκεκριμένη περίπτωση αυτό γίνεται αν a=-1

.

Αν $a\neq -1$ , τότε η εξίσωση έχει μία λύση, η οποία είναι η x=0

.

mathxl · #5

Οκ κατάλαβα. Πως σου φαίνεται το παρακάτω ως συλλογισμός:
Αφού είναι ταυτότητα, η εξίσωση θα επαληθεύεται από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, μχχμχ...ας πούμε το 1, οπότε με αντικατάσταση θα έχω
9= 3 ( 2- α) άρα α = -1
Είναι πλήρης η λύση μου;

stavros11 · #6

mathxl έγραψε:Οκ κατάλαβα. Πως σου φαίνεται το παρακάτω ως συλλογισμός:
Αφού είναι ταυτότητα, η εξίσωση θα επαληθεύεται από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, μχχμχ...ας πούμε το 1, οπότε με αντικατάσταση θα έχω
9= 3 ( 2- α) άρα α = -1
Είναι πλήρης η λύση μου;

Όχι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι επαληθεύεται από όλους τους πραγματικούς και όχι από κάποιον τυχαίο.

Βέβαια:
$x=-ax, x\in \mathbb{R}^*\Rightarrow -a=1\Rightarrow a=-1$ . Άρα όποιον πραγματικό διάφορο του 0 και να παίρναμε a=-1

θα μας βγάλει, που είναι σωστό.

Όμως με αυτό το σκεπτικό θα μπορούσαμε να πάρουμε και x=0

που βγάζει -a0=0

, δηλαδή ότι είναι ταυτότητα για κάθε α...

mathxl · #7

Σώνεται ο τρόπος αυτός; Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η τιμή αυτή ( α = -1) καθιστά την εξίσωση ταυτότητα;

Με τον δικό σου τρόπο (που παρέθεσες αρχικά και συμπλήρωσες αργότερα), υποθέσαμε ότι :ισχύει η υπόθεση και αρνηθήκαμε το συμπέρασμα (ότι α =-1), άρα θα υπάρχει και άλλη τιμή του α, διαφορετική του -1 ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα και εύκολα καταλήξαμε σε κάτι που αντιφάσκει με τις υποθέσεις μας (χ = 0 μοναδική λύση, πράγμα άτοπο). Έτσι δείξαμε ότι το α = -1 είναι η μοναδική τιμή της παραμέτρου ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα.

Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

Re: Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

Re: Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

Re: Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

Re: Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

Re: Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

Re: Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

Μέλη σε σύνδεση