Απόλυτες Τιμές

kostas136 · #1

Αν $ab\neq 0$ και $\displaystyle \left|\frac{5}{4}a+4b \right|<\left|a+5b \right|$ τότε να αποδείξετε ότι $\displaystyle \left|\frac{a}{b} \right|-\left|\frac{b}{a} \right|<\frac{15}{4}.$

#2

Από την υπόθεση έχουμε:
$\frac{5}{4}\left| #a#\right|-4\left|b \right|<\left|a \right|+5\left|b \right|$
κι ακόμα:
$\frac{\left|a\right|}{\left|b \right|}<4 \left(1 \right)$
Η ζητούμενη μετά πράξεις γίνεται:
$4\left(\left|a \right|^2-\left|b \right|^2 \right)<15\left|a \right|\left|b \right|\Leftrightarrow 4(\frac{\left|a \right|}{\left|b \right|}-1)<15\frac{\left|a \right|}{\left|b \right|}$
κι αν θέσουμε: $x=\frac{\left|a \right|}{\left|b \right|}$ τότε η τελευταία γίνεται: $4(x^2-1)<15x\Leftrightarrow 4x^2-15x-4<0$ με $\Delta =289=17^2$ και ρίζες $x_{1}=-\frac{1}{4},x_{2}=4$ .
Λόγω της (1) ο αριθμός $\frac{\left|a \right|}{\left|b \right|}$ βρίσκεται μεταξύ των ριζών και συνεπώς το τριώνυμο γίνεται ετερόσημο του συντελεστή του δευτεροβαθμίου όρου για την τιμή αυτή.
Άρα η ζητούμενη αληθεύει.

A.Spyridakis · #3

Απόλυτες Τιμές

Απόλυτες Τιμές

Re: Απόλυτες Τιμές

Re: Απόλυτες Τιμές

Μέλη σε σύνδεση