Διεισδυτική Άλγεβρα

kostas136 · #1

Αν $a, b, c\in R$ και ισχύει $\displaystyle 3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}=2ab+2bc+2ac$

τότε να δείξετε ότι α) $\displaystyle a=b+c, b=c+a, c=a+b$ και β) $\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

#2

Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς a,b,c

ισχύει: $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ (καταλήγει στη γνωστή ανισότητα $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ ).

Άρα κάνοντας χρήση της δοσμένης παίρνουμε $2ab+2bc+2ca\geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ δηλαδή $a^2+b^2+c^2 \leq 0$ που αληθεύει μόνο όταν a=b=c=0

οπότε τα ερωτήματα είναι πλέον τετριμμένα.

Αλέξανδρος

vanalex · #3

Καλημέρα σε όλους! H δοσμένη με κατάλληλη διάσπαση γίνεται:

$\left(a^{2}+b^{2}-2ab \right)+\left(b^{2}+c^{2}-2bc \right)+\left(a^{2}+b^{2}-2ac \right)+a^{2}+b^{2}+c^{2}=0$

Άρα $\left(a-b \right)^{2}+\left(b-c \right)^{2}+\left(a-c \right)^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=0$

Αφού έχω άθροισμα θετικών ποσοτήτων ίσο με μηδέν τότε ισχύει :

Αν αντικαταστήσω όπου a = b = c = 0 στη σχέση $a^{3}+b^{3}+c^{3}=0$ και 3abc = 0

οπότε προκύπτει και το δεύτερο ερώτημα..

Υ.Γ. Μετά από εύστοχη παρέμβαση του Αλέξανδρου (cretanman) διόρθωσα την προηγούμενη λύση όπου αναφερόμουν ότι από ταυτότητα Euler προκύπτει το ζητούμενο του 2ου ερωτήματος. Προφανώς είναι πλεονασμός αφού δεν ισχύει μόνο ότι a = b = c ή a + b + c = 0, αλλά ότι a = b = c = 0.

Διεισδυτική Άλγεβρα

Διεισδυτική Άλγεβρα

Re: Διεισδυτική Άλγεβρα

Re: Διεισδυτική Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση