Ανισότητα Χ 5

[Γιώργος Ρίζος]

Μου μετέφεραν το παρακάτω:
Ζητήθηκε πριν λίγο καιρό στην ενότητα των ανισοτήτων να λυθεί η παρακάτω κλασσική άσκηση με τουλάχιστον πέντε διαφορετικούς τρόπους στην Α΄ Λυκείου.

Για κάθε α, β με α > 2 και β > 2 να δειχθεί ότι α·β > α + β.

Δεν είχα ποτέ αναζητήσει παραπάνω από μία λύση!
Η προτροπή του καθηγητή μού κίνησε το ενδιαφέρον.
Πράγματι, υπάρχουν τουλάχιστον 5 διαφορετικές λύσεις.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Π.χ. (1) Πράξεις ανισοτήτων, (2) Διάκριση περιπτώσεων, (3) επί 2 ... (4) με μονοτονία (αποδεκτή για Α΄ Λυκείου;) (5) γραφική επίλυση

Άραγε, πόσες λύσεις μπορούμε να προσθέσουμε στη συλλογή;

Θα έλεγα να μην περιοριστούμε στην ύλη της Α΄ Λυκείου, αλλά να αφήσουμε τη φαντασία μας ελεύθερη!

Γιώργος Ρίζος

[Mihalis_Lambrou]

Για κάθε α, β με α > 2 και β > 2 να δειχθεί ότι α·β > α + β.

Άραγε, πόσες λύσεις μπορούμε να προσθέσουμε στη συλλογή;

Γιώργο, ... μία φτάνει! Η απλούστερη(;)

Γράφω Α = 1/α, Β=1/β. Η υπόθεση είναι Α < 1/2, Β < 1/2 και θέλω να αποδείξω Α + Β < 1.
Μα τώρα είναι τετριμμένο...

Φιλικά,

Μιχάλης

[cretanman]

Ακόμη 2 που μου έρχονται στο μυαλό:

1) Λόγω του ότι και άρα και . Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη παίρνουμε τη ζητούμενη.

2) Αφού και άρα και . Τις προσθέτουμε κατά μέλη, πολλαπλασιάζουμε με και το ζητούμενο έπεται.

Αλέξανδρος

[matha]

Ένας τρόπος:



άρα



EDIT* Πάλι πρωτοτύπησα!

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

...Μα τώρα είναι τετριμμένο...

Μια στιγμή, εδώ κάτι χάνω...

Δάσκαλε πολύ καλό!!

[Γιώργος Ρίζος]

Ευχαριστώ για την αστραπιαία ανταπόκριση και τις συντομότατες και κομψότατες απαντήσεις.

Δίνω ακόμα πέντε διαφορετικές προσεγγίσεις στο ερώτημα.
Η 5η λύση βασίζεται στη μονοτονία συνάρτησης, ύλη του 4ου κεφαλαίου της Α΄ Λυκείου, δηλαδή εντάσσεται στα "προσεχώς". Ενδείκνυται, νομίζω, για να γνωρίσουν οι μαθητές τη χρήση (και χρησιμότητα) των συναρτήσεων στην αντιμετώπιση παρόμοιων προβλημάτων.
Το ερώτημα που θέτουμε, αν δεν μάς τεθεί: Πώς επιλέξαμε τη συγκεκριμένη συνάρτηση;

Θα ήθελα τη γνώμη σας: Η γραφική προσέγγιση (4η) είναι αποδεκτή ως λύση του θέματος;

ΕΚΦΩΝΗΣΗ:
Για κάθε α > 2 και β > 2 να αποδειχθεί ότι αβ > α +β.

1η ΛΥΣΗ:

α > 2
β > 2

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: αβ > 4 (1)

α > 2 => α - 2 > 0
β > 2 => β - 2 > 0

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: αβ - 2α - 2β + 4 > 0 (2)

Προσθέτουμε τις (1) και (2) 2αβ - 2α - 2β > 0 => αβ > α + β

2η ΛΥΣΗ:

Έστω α = β
Τότε η ανισότητα αβ > α + β γράφεται α² > 2α <= α² - 2α > 0 <= α(α - 2) > 0
που ισχύει, αφού α > 2.

Έστω α > β
Τότε 2α > α + β (1) (προσθέσαμε α)
Επίσης: β > 2 => αβ > 2α (2) (πολλαπλασιάσαμε με α)

Προσθέτουμε τις (1) και (2) 2α + αβ > α + β + 2α => αβ > α + β.

Με τον ίδιο τρόπο αντιμετωπίζουμε την περίπτωση β > α.

3η ΛΥΣΗ:

Η ανισότητα αβ > α + β γράφεται 2αβ > 2α + 2β <= αβ + αβ - 2α - 2β > 0 <=

α(β - 2) + β(α - 2) > 0, που ισχύει αφού α > 2 και β > 2.

4η ΛΥΣΗ:

Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις α, β με α > 2 και β > 2
το ροζ ορθογώνιο έχει εμβαδό α•1 = α και το σχήμα με κίτρινο χρώμα
έχει εμβαδό (β - 1)•1 + 1 = β.
Τότε, αφού α > 2 και β > 2 είναι αβ > α + β

anisothta.jpg (9.54 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

5η ΛΥΣΗ:

Έστω συνάρτηση f(x) = (α - 1)x - α, με α > 2 και Π.Ο. A = [2, +οο).

Για με

,
(αφού α > 2), οπότε η f είναι γνήσια αύξουσα στο Α.

f(2) = (α - 1)2 - α = α - 2 > 0.
Οπότε, για x > 2 είναι: f(x) > f(2) > 0 => αx - x - α > 0 => αx > x + α.

Θέτουμε x = β, β > 2 και προκύπτει η ζητούμενη προς απόδειξη ανισότητα: αβ > α + β.

Γιώργος Ρίζος

[irakleios]

1)

α > 2 άρα αβ > 2β

β > 2 άρα αβ > 2α

προσθέτω κατά μέλη και έχω 2αβ > 2(α + β) άρα αβ > α + β .

2 Θέτω α = 2 + ω και β = 2 + κ , όπου ω και κ θετικοί .

τότε αβ = 4 + 2ω + 2κ + ωκ > 4 + ω + κ = α + β.

[cretanman]

Θα ήθελα τη γνώμη σας: Η γραφική προσέγγιση (4η) είναι αποδεκτή ως λύση του θέματος;

Γιώργο καλησπέρα,

Εάν μαθητής μου, μου έδινε την απάντηση 4 τότε θα πετούσα από τη χαρά μου! Μάλλον θα τον είχα από κοντά και όλο και κάτι θα συζητούσαμε το διάλειμμα ή σε κάποια ελεύθερη ώρα... Τη θεωρώ απόλυτα ορθή και κομψή λύση που κρύβει όμορφες συζητήσεις γύρω από πολλά ακόμη θέματα... Ευχαριστούμε!

Αλέξανδρος

[Κώστας Μαλλιάκας]

F(x)=β-1-β/x ... x στο [2, + οο) ... F γνησίως αύξουσα (αποδεικνύεται συνθετικά).... α>2 οπότε F(α)>F(2) ...οπότε ...αβ>2β
Ομοίως G(x) = α-1-α/x .... γνησίως αύξουσα α>2 ... οπότε G(α)>G(2) ...οπότε ...αβ>2α και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο.

Με άλλη συνάρτηση Φ(x) = 1/x + 1/α στο [2, + οο) έχουμε ότι Φ γνησίως φθίνουσα
και Φ(2)= 1/2 +1/α < 1/2 + 1/2 =1 αφού α>2, οπότε για β>2 είναι Φ(β)<Φ(2) δηλαδή
1/β +1/α < Φ(2) < 1 και τελικά α+β < αβ...

[Κώστας Μαλλιάκας]

Και άλλη μια γεωμετρική προσέγγιση με την βοήθεια του sketcpad